Examkin

Question

Difficulty: EasyBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu müfettişi, bir bölgedeki sigorta başvurularının eksik belgeli olma oranını (θ\theta) Bayes yöntemiyle tahmin etmek istemektedir. θ\theta parametresi için önsel (prior) dağılım Beta(2,2)Beta(2, 2) olarak alınmıştır. Rastgele seçilen bir başvurunun (n=1n=1) incelenmesi sonucunda bu başvurunun eksik belgeli olduğu (x=1x=1) saptanmıştır.

Karesel hata kaybı (squared error loss) fonksiyonu kullanıldığına göre, θ\theta parametresinin Bayes nokta tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,4
  2. B
    0,5
  3. 0,6Answer
  4. D
    2/3
  5. E
    1,0

Answer

Bayes nokta tahmini 0,6 olarak hesaplanır.
Verilen problemde önsel dağılım Beta(2,2)Beta(2, 2) ve gözlem verisi n=1,x=1n=1, x=1 (başarı) şeklindedir. Beta ve Bernoulli dağılımları eşlenik olduğundan, sonsal dağılım yine bir Beta dağılımı olur ve parametreleri α′=α+x=3\alpha' = \alpha + x = 3 ve β′=β+n−x=2\beta' = \beta + n - x = 2 olarak güncellenir. Karesel hata kaybı fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi sonsal dağılımın beklenen değeridir. Bu değer α′α′+β′=35=0,6\frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{3}{5} = 0,6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sonsal (posterior) dağılımın belirlenmesi
f(θ∣x)∼Beta(α+x,β+n−x)f(\theta|x) \sim Beta(\alpha + x, \beta + n - x)
Beta önsel dağılımı ve Bernoulli olabilirlik fonksiyonu birbirinin eşleniğidir (conjugate prior).
2
Sonsal dağılım parametrelerinin güncellenmesi
α′=2+1=3\alpha' = 2 + 1 = 3 ve β′=2+1−1=2\beta' = 2 + 1 - 1 = 2
Verilen α=2,β=2,n=1,x=1\alpha=2, \beta=2, n=1, x=1 değerleri formülde yerine konur.
3
Bayes tahmin edicisinin hesaplanması
E[θ∣x]=α′α′+β′=33+2=0,6E[\theta|x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{3}{3 + 2} = 0,6
Karesel hata kaybı fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine eşittir.

Key Concept

Beta-Bernoulli eşlenik dağılımları ve karesel hata kaybı altında Bayes tahmini.
Rate this question

Topics

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

More questions from this topic