Examkin

Question

Difficulty: MediumBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir kamu araştırma laboratuvarında hassas bir ölçüm cihazı kullanılarak bir kimyasal bileşenin saflık derecesi (θ\theta) ölçülmektedir. Ölçüm değerlerinin (XX), θ\theta ortalamalı ve σ2=9\sigma^2 = 9 varyanslı normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. θ\theta parametresi için önsel (prior) dağılım N(20,18)N(20, 18) olarak belirlenmiştir. Yapılan tek bir ölçüm sonucunda saflık derecesi x=26x = 26 olarak elde edildiğine göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    22
  3. C
    23
  4. 24Answer
  5. E
    26

Answer

Bayes tahmin edicisi sonsal dağılımın ortalaması olup, hesaplama sonucunda 24 olarak bulunur.
Verilen problemde normal dağılımın ortalaması için yine normal bir önsel dağılım kullanılmıştır. Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine (ortalamasına) eşittir. Bu değer, örneklem ortalaması (xx) ile önsel ortalamanın (μ0\mu_0), hassasiyetleri (varyansların tersi) ile ağırlıklandırılmasıyla hesaplanır. Formül gereği 2424 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Likelihood (olabilirlik) ve önsel (prior) dağılım parametrelerini belirle.
X∣θ∼N(θ,σ2=9)X | \theta \sim N(\theta, \sigma^2=9) ve θ∼N(μ0=20,τ02=18)\theta \sim N(\mu_0=20, \tau_0^2=18). Gözlem değeri x=26x=26.
Normal dağılımın ortalaması için normal önsel dağılım kullanıldığında sonsal dağılım da normal olur (eşlenik önsel).
2
Karesel hata kayıp fonksiyonu için Bayes tahmin edicisinin formülünü tanımla.
Bayes tahmin edicisi θ^B=E[θ∣x]\hat{\theta}_B = E[\theta | x] (sonsal beklenen değer).
Karesel hata kaybı durumunda riski minimize eden tahmin edici sonsal dağılımın ortalamasıdır.
3
Sonsal dağılımın ortalamasını (μ1\mu_1) hesapla.
μ1=xσ2+μ0τ021σ2+1τ02=269+201819+118\mu_1 = \frac{\frac{x}{\sigma^2} + \frac{\mu_0}{\tau_0^2}}{\frac{1}{\sigma^2} + \frac{1}{\tau_0^2}} = \frac{\frac{26}{9} + \frac{20}{18}}{\frac{1}{9} + \frac{1}{18}}
Normal-Normal konjuge çiftinde sonsal ortalama, önsel ve örneklem bilgilerinin varyanslarıyla ters orantılı ağırlıklandırılmış ortalamasıdır.
4
Sayısal işlemi tamamla.
μ1=52+20182+118=72/183/18=723=24\mu_1 = \frac{\frac{52+20}{18}}{\frac{2+1}{18}} = \frac{72/18}{3/18} = \frac{72}{3} = 24.
Payda ve paydaki ortak çarpanlar sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Normal-Normal Eşlenik Önsel Dağılım ve Bayes Tahmin Edicisi

Practice More

Eğer kayıp fonksiyonu karesel hata yerine mutlak hata (absolute error loss) olsaydı, Bayes tahmin edicisinin sonsal dağılımın medyanı olacağını unutmayın.

Alternative Method

Sonsal ortalamayı şu şekilde de düşünebilirsiniz: μ1=w⋅x+(1−w)⋅μ0\mu_1 = w \cdot x + (1-w) \cdot \mu_0. Burada ww ağırlığı, örneklem hassasiyetinin toplam hassasiyete oranıdır: w=1/91/9+1/18=2/183/18=2/3w = \frac{1/9}{1/9 + 1/18} = \frac{2/18}{3/18} = 2/3. Buradan μ1=(2/3)⋅26+(1/3)⋅20=52/3+20/3=72/3=24\mu_1 = (2/3) \cdot 26 + (1/3) \cdot 20 = 52/3 + 20/3 = 72/3 = 24.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

More questions from this topic