Examkin

Question

Difficulty: Mediumİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, x=y2−2yx = y^2 - 2y parabolü ile x=2yx = 2y doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 323\frac{32}{3}Answer
  2. B
    9
  3. C
    163\frac{16}{3}
  4. D
    643\frac{64}{3}
  5. E
    16

Answer

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı \frac{32}{3} birimkaredir.
İki eğrinin kesişim noktaları olan y=0y = 0 ve y=4y = 4 ordinat değerleri arasında, sağda kalan x=2yx = 2y doğrusundan solda kalan x=y2−2yx = y^2 - 2y parabolü çıkarılarak yapılan integral hesabı sonucunda alan \frac{32}{3} birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−2y=2y  ⟹  y2−4y=0  ⟹  y(y−4)=0y^2 - 2y = 2y \implies y^2 - 4y = 0 \implies y(y-4) = 0 denkleminin kökleri y=0y = 0 ve y=4y = 4 olarak bulunur.
İntegralin sınırlarını belirlemek için kesim noktalarının ordinatları hesaplanmalıdır.
2
Belirlenen sınırlar dahilinde hangi eğrinin daha sağda (büyük değerde) olduğunu tespit ederek integral ifadesini kurun.
y∈[0,4]y \in [0, 4] aralığında x=2yx = 2y doğrusu daha sağda olduğundan integral ∫04(2y−(y2−2y))dy=∫04(4y−y2)dy\int_{0}^{4} (2y - (y^2 - 2y)) dy = \int_{0}^{4} (4y - y^2) dy olarak kurulur.
Alan hesabının pozitif çıkması için sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.
3
Belirli integrali hesaplayarak alan değerine ulaşın.
[2y2−y33]04=(2(4)2−433)−0=32−643=323\left[ 2y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_0^4 = \left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} birimkare bulunur.
Eğriler arasında kalan bölgenin alanını veren integralin sayısal değeri hesaplanmıştır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alan hesabı, kesişim noktaları bulunarak belirli integral yardımıyla yapılır. Yatay dilimleme yapıldığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak y değişkenine göre integral alınır.

Alternative Method

Pratik yol olarak, bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktaları arasındaki alan formülü olan S=∣a∣6(y2−y1)3S = \frac{|a|}{6}(y_2 - y_1)^3 kullanılabilir. Burada y2−4y=0y^2 - 4y = 0 denkleminin kökleri y1=0y_1 = 0 ve y2=4y_2 = 4'tür. a=−1a = -1 olduğundan, Alan = \frac{1}{6}(4 - 0)^3 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ birimkare bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

More questions from this topic