Examkin

Question

Difficulty: Mediumİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Aşağıda dik koordinat düzleminde sınırları verilen bölge tanımları ile bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadelerini doğru şekilde eşleştiriniz.

  • Dik koordinat düzleminde x=y2x = y^2 parabolü ile x=y+2x = y + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy
  • Birinci bölgede y=x2y = x^2 eğrisi, y=4−3xy = 4 - 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölge∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy
  • Birinci bölgede y=8x2y = \frac{8}{x^2} eğrisi, y=xy = x doğrusu ve y=8y = 8 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy

Answer

Birinci bölge tanımı ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy integraliyle, ikinci bölge tanımı ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy integraliyle, üçüncü bölge tanımı ise ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy integraliyle eşleşir.
Bölge sınırları ve kesişim noktaları y-eksenine göre ifade edilip sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak doğru integral ifadelerine ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktaları y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olup alan integrali ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak elde edilir.
Kesişim noktalarını bulmak için iki ifadenin x değerleri eşitlenir: y2=y+2y^2 = y + 2. Buradan sınırlar [−1,2][-1, 2] bulunur. Doğru (x=y+2x = y+2), parabolün (x=y2x = y^2) sağında yer aldığı için fark fonksiyonu (y+2)−y2(y+2) - y^2 olur.
2
İkinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=1y=1 olup alan integrali ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=x2y = x^2 ve y=4−3xy = 4-3x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=1x=1 (yani y=1y=1) noktasındadır. Bölge x-ekseniyle de sınırlandığı için y sınırları [0,1][0, 1] olur. x değerleri y cinsinden çekildiğinde sağda x=4−y3x = \frac{4-y}{3} doğrusu, solda x=yx = \sqrt{y} parabolü bulunur.
3
Üçüncü bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=2y=2 olup alan integrali ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=8x2y = \frac{8}{x^2} ve y=xy = x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=2x=2 (yani y=2y=2) noktasındadır. Üst sınır y=8y=8 doğrusu olduğundan y sınırları [2,8][2, 8] olur. x değerleri y cinsinden yazıldığında sağda x=yx = y doğrusu, solda ise x=8yx = \sqrt{\frac{8}{y}} eğrisi bulunur.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y-eksenine göre dilimleme (yatay dilimleme) yöntemiyle belirli integral kullanarak ifade etme.
Rate this question

Topics

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

More questions from this topic