Bir (a_n) dizisinde a_1 = 4 ve her n \geq 1 tam sayısı için a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $(a_n)$ dizisinde $a_1 = 4$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + (n+1)(n+2) \cdot 2^{n-1}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin beşinci terimi olan $a_5$ kaçtır?

Answer: 510

Dizinin beşinci terimi olan

a_5

değeri 510'dur.

Verilen bağıntı

(n+1)(n+2)

ile bölündüğünde

\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = 2^{n-1}

teleskopik yapısı elde edilir.

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümü ile

b_5 = b_1 + 15 = 17

bulunur. Buradan

a_5 = 30 \cdot b_5 = 510

sonucuna ulaşılır.

Verilen indirgemeli bağıntının her iki tarafı

(n+1)(n+2)

ifadesine bölünerek sadeleştirilir.

\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + 2^{n-1}

Bağıntıyı teleskopik (ardışık sadeleşen) bir toplamsal forma dönüştürmek amacıyla paydaları düzenlemek için.

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümü tanımlanır ve başlangıç terimi

b_1

hesaplanır.

b_{n+1} = b_n + 2^{n-1}

b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2

elde edilir.

Diziyi toplamsal indirgeme modeliyle ifade edip çözümü basitleştirmek için.

b_{n+1} - b_n = 2^{n-1}

bağıntısında

n = 1, 2, 3, 4

değerleri yazılarak taraf tarafa toplanır.

b_5 - b_1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

ve buradan

b_5 = 2 + 15 = 17

bulunur.

Teleskopik toplam yöntemiyle

b_5

değerini doğrudan bulmak için.

b_5 = \frac{a_5}{5 \cdot 6}

eşitliğinden faydalanılarak

a_5

çekilir.

a_5 = 30 \cdot b_5 = 30 \cdot 17 = 510

elde edilir.

Dönüşüm tanımını kullanarak orijinal dizinin terimini hesaplamak için.

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpanla bölme yoluyla teleskopik toplamsal form elde etme.

Question