Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonların Simetri Dönüşümleri

Dik koordinat düzleminde tanımlı f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonu veriliyor.

g(x)=f(∣x∣)g(x) = f(|x|)
h(x)=−g(x−1)+2h(x) = -g(x-1) + 2

olduğuna göre, h(x)=0h(x) = 0 denklemini sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    -4
  2. B
    0
  3. C
    2
  4. 4Answer
  5. E
    8

Answer

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 4'tür.
Doğru cevap olan 4 değeri, h(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerinin bulunup toplanmasıyla elde edilir. h(x) fonksiyonu x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğundan, tüm kökler bu doğruya göre simetrik çiftler oluşturur ve toplamları 4 olur.

Step-by-Step Solution

1
g(x) fonksiyonunu oluşturma
g(x)=f(∣x∣)=∣x∣2−4∣x∣+3=x2−4∣x∣+3g(x) = f(|x|) = |x|^2 - 4|x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyon y eksenine (x=0x = 0 doğrusuna) göre simetriktir.
h(x) fonksiyonunun tanımındaki g(x) bileşenini belirlemek için.
2
h(x) = 0 denklemini kurma ve sadeleştirme
−g(x−1)+2=0  ⟹  g(x−1)=2-g(x-1) + 2 = 0 \implies g(x-1) = 2 denklemi elde edilir.
h(x)'in sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için.
3
g(x-1) = 2 denklemini çözme
(∣x−1∣−2)2−1=2  ⟹  (∣x−1∣−2)2=3(|x-1| - 2)^2 - 1 = 2 \implies (|x-1| - 2)^2 = 3 olur. Buradan ∣x−1∣−2=3|x-1| - 2 = \sqrt{3} veya ∣x−1∣−2=−3|x-1| - 2 = -\sqrt{3} elde edilir.
Mutlak değerli denklemin köklerini bulmak için.
4
Kökleri tek tek hesaplama veya simetriyi kullanma
Birinci durumdan: ∣x−1∣=2+3  ⟹  x1=3+3|x-1| = 2 + \sqrt{3} \implies x_1 = 3 + \sqrt{3} ve x2=−1−3x_2 = -1 - \sqrt{3}. İkinci durumdan: ∣x−1∣=2−3  ⟹  x3=3−3|x-1| = 2 - \sqrt{3} \implies x_3 = 3 - \sqrt{3} ve x4=−1+3x_4 = -1 + \sqrt{3}. Tüm köklerin toplamı: (3+3)+(−1−3)+(3−3)+(−1+3)=4(3 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) + (-1 + \sqrt{3}) = 4 bulunur.
Denklemin tüm gerçel köklerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Fonksiyonlarda yansıma ve öteleme dönüşümlerinin simetri eksenine etkisi

Alternative Method

Denklemin köklerinin simetri ekseni olan x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik olmasından faydalanılabilir. g(x)=f(∣x∣)g(x) = f(|x|) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan x=0x = 0 doğrusuna göre simetriktir. h(x)=−g(x−1)+2h(x) = -g(x-1) + 2 fonksiyonu ise bu grafiğin 1 birim sağa ötelenmesiyle elde edildiği için simetri ekseni x=1x = 1 doğrusu olur. h(x)=0h(x) = 0 denkleminin 4 farklı gerçel kökü olduğu belirlendikten sonra, kökler x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik çiftler halinde olacağından, toplamları 2×2=42 \times 2 = 4 olarak doğrudan bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Simetri Dönüşümleri

More questions from this topic