Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanan aşağıdaki bölgeleri, bu bölgelerin alanların… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanan aşağıdaki bölgeleri, bu bölgelerin alanlarını veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

$y = x^2$ parabolü ile $y = 2x$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge I) $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$
$y = \sqrt{x}$ eğrisi ile $y = x^2$ parabolü arasında kalan sınırlı bölge (Bölge II) $\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx$
$y = 4 - x^2$ parabolü ile $y = x + 2$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge III) $\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx$

Answer

Bölge I için integral

\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

, Bölge II için integral

\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx

, Bölge III için integral

\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx

olmalıdır.

Her üç bölgenin de alan formülleri doğru bir şekilde kesişim noktaları alt ve üst sınır alınarak ve üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak oluşturulmuştur.

Step-by-Step Solution

Bölgelerin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.

x^2 = 2x \implies x = 0, 2

;

\sqrt{x} = x^2 \implies x = 0, 1

4-x^2 = x+2 \implies x = -2, 1

kesişim sınırları elde edilir.

Belirli integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek için sınır eğrilerinin kesim noktaları bulunmalıdır.

Her bir bölge için hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyiniz.

Bölge I'de

y = 2x

üstte,

y = x^2

alttadır; Bölge II'de

y = \sqrt{x}

üstte,

y = x^2

alttadır; Bölge III'de

y = 4-x^2

üstte,

y = x+2

alttadır.

İki eğri arasındaki alan hesaplanırken integral içi ifade üstteki eğri eksi alttaki eğri olarak yazılır.

Elde edilen sınırları ve integral içi ifadeleri birleştirerek integral gösterimlerini oluşturunuz.

Bölge I alanı

\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

; Bölge II alanı

\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx

; Bölge III alanı

\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx

integralleri ile eşleşir.

Belirli integral tanımı gereği

\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx

ifadesi alanı verir.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla ifade edilmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic