Examkin

Question

Difficulty: Very hardLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→0a−cos⁡4(x)−bx2=12\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a - \cos^4(x)} - b}{x^2} = \frac{1}{2}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    5
  3. C
    6
  4. 7Answer
  5. E
    9

Answer

Doğru cevap 7 olan seçenektir.
Doğru seçenekte belirtilen 7 değeri doğrudur. Paydanın limiti sıfır olduğundan limitin gerçek sayı belirtmesi için pay sıfıra yaklaşmalı ve a−1=b\sqrt{a-1}=b olmalıdır. Buradan a=b2+1a = b^2+1 bulunur. Eşlenikle çarpım ve 1−cos⁡4(x)=sin⁡2(x)(1+cos⁡2(x))1 - \cos^4(x) = \sin^2(x)(1+\cos^2(x)) özdeşliği kullanıldığında limit 1b\frac{1}{b} olarak bulunur. Bu limit 12\frac{1}{2}'ye eşitlendiğinde b=2b=2 ve a=5a=5 elde edilir, toplamları ise 7 olur.

Step-by-Step Solution

1
Paydanın limitini inceleyerek belirsizlik durumunu tespit etme.
x→0x \to 0 iken payda sıfıra gitmektedir (x2→0x^2 \to 0). Limit değeri bir gerçek sayıya eşit olduğundan, payın limiti de sıfır olmalıdır: lim⁡x→0(a−cos⁡4(x)−b)=0\lim_{x \to 0} (\sqrt{a - \cos^4(x)} - b) = 0.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı çıkması ancak 0/00/0 belirsizliğinin oluşmasıyla mümkündür.
2
Payın limitini alarak aa ve bb parametreleri arasındaki ilişkiyi bulma.
x→0x \to 0 için cos⁡(x)→1\cos(x) \to 1 olduğundan, a−1−b=0  ⟹  a−1=b  ⟹  a−1=b2  ⟹  a=b2+1\sqrt{a - 1} - b = 0 \implies \sqrt{a - 1} = b \implies a - 1 = b^2 \implies a = b^2 + 1 (aa ve bb pozitif olduğundan).
Belirsizlik koşulundan yararlanarak parametreler arasında cebirsel bir ilişki kurmak.
3
Bulunan ilişkiyi limitte yerine yazarak payı eşleniğiyle çarpma.
lim⁡x→0b2+1−cos⁡4(x)−bx2=lim⁡x→0(b2+1−cos⁡4(x))−b2x2(b2+1−cos⁡4(x)+b)=lim⁡x→01−cos⁡4(x)x2(b2+1−cos⁡4(x)+b)\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} - b}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(b^2 + 1 - \cos^4(x)) - b^2}{x^2(\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^4(x)}{x^2(\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b)} olur.
Pay kısmındaki kareköklü ifadeyi rasyonalize ederek belirsizliği çözebilecek çarpanı ortaya çıkarmak.
4
Paydaki trigonometrik ifadeyi sadeleştirme.
1−cos⁡4(x)=(1−cos⁡2(x))(1+cos⁡2(x))=sin⁡2(x)(1+cos⁡2(x))1 - \cos^4(x) = (1 - \cos^2(x))(1 + \cos^2(x)) = \sin^2(x)(1 + \cos^2(x)) olarak yazılır. Limit ifadesi: lim⁡x→0(sin⁡(x)x)2⋅1+cos⁡2(x)b2+1−cos⁡4(x)+b\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \cdot \frac{1 + \cos^2(x)}{\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b} şeklini alır.
İki kare farkı özdeşliği ve temel trigonometrik özdeşlik yardımıyla belirsizlik çarpanını ayrıştırmak.
5
Limiti hesaplayıp bb değerini bulma.
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 olduğu için limit: 12⋅1+1b2+b=22b=1b1^2 \cdot \frac{1 + 1}{\sqrt{b^2} + b} = \frac{2}{2b} = \frac{1}{b} (b>0b>0 olduğundan b2=b\sqrt{b^2}=b olur). Limitin değeri 12\frac{1}{2} olduğundan 1b=12  ⟹  b=2\frac{1}{b} = \frac{1}{2} \implies b = 2 bulunur.
Sadeleştirmeler sonrası belirsizlik giderildiği için xx yerine 0 yazıp limit değerini bb türünden bulmak.
6
aa parametresini ve istenen toplamı hesaplama.
a=b2+1=22+1=5a = b^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5 olur. Buradan a+b=5+2=7a + b = 5 + 2 = 7 elde edilir.
bb değerini yerine koyarak aa değerine ulaşmak ve toplamı bulmak.

Key Concept

0/0 belirsizliği durumunda eşlenik yardımıyla ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak belirsizliğin giderilmesi ve parametre hesabı.
Rate this question

Topics

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

More questions from this topic