Analitik düzlemde, f(x) = x^2 - 4x ve g(x) = 2x - x^2 fonksiyonlarının grafikleri arasında… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde, $f(x) = x^2 - 4x$ ve $g(x) = 2x - x^2$ fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{20}{3}$
B
$\frac{13}{3}$
9Answer
D
$\frac{7}{3}$
E
$\frac{41}{3}$

Answer

İki parabolün kesim noktaları

x=0

x=3

olarak bulunur. Bu aralıkta

g(x) = 2x-x^2

parabolü üstte yer aldığından alan

\int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = 9

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Eğrilerin kesim noktalarını belirlemek amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleyin.

x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0

denkleminden kesim noktalarının apsisleri

x = 0

x = 3

olarak bulunur.

İki eğri arasında sınırlanan bölgenin x eksenindeki sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları hesaplanmalıdır.

Bulunan

[0, 3]

aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu test edin.

x = 1

için

g(1) = 1

f(1) = -3

olduğundan,

[0, 3]

aralığında

g(x) \ge f(x)

'dir.

Alan hesabında pozitif bir değer elde etmek için üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulmalıdır.

Eğriler arasında kalan alanı veren belirli integrali yazın.

A = \int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_0^3 (2x - x^2 - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx

İki eğri arasındaki alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen farkın belirli integrali ile hesaplanır.

Belirli integrali hesaplayarak alan değerini bulun.

\int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^3 = \left( 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 \right) - 0 = (27 - 18) - 0 = 9

birimkare.

Newton-Leibniz kuralı gereğince ilkel fonksiyon bulunup sınırlar yerine yazılır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak hesaplanması

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic