Examkin

Question

Difficulty: Mediumİndirgemeli Diziler
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=2a_1 = 2 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1−an=(−1)n(2n+1)a_{n+1} - a_n = (-1)^n (2n + 1)
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a20a_{20} değeri kaçtır?
  1. A
    −21-21
  2. −19-19Answer
  3. C
    −17-17
  4. D
    2121
  5. E
    2323

Answer

-19
Verilen indirgeme bağıntısı n = 1'den n = 19'a kadar yazılıp taraf tarafa toplandığında teleskopik toplam elde edilir. Bu toplamda terimler ikişerli gruplandırılarak toplamın değeri -21 olarak bulunur. Başlangıç terimi olan 2 eklendiğinde dizinin 20. terimi -19 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İndirgeme bağıntısında n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., 19 yazılır.
a2−a1=−3a_2 - a_1 = -3, a3−a2=5a_3 - a_2 = 5, a4−a3=−7a_4 - a_3 = -7, ..., a20−a19=−39a_{20} - a_{19} = -39 eşitlikleri elde edilir.
a_{20} terimine ulaşmak için ardışık terimlerin farklarını listeleyip toplamak gerekir.
2
Elde edilen 19 adet eşitlik taraf tarafa toplanır.
a20−a1=−3+5−7+9−11+13−⋯−39a_{20} - a_1 = -3 + 5 - 7 + 9 - 11 + 13 - \dots - 39 eşitliği elde edilir.
Sol taraftaki terimler teleskopik olarak birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki ardışık toplama işlemini kolaylaştırmak için terimler ikişerli gruplandırılır.
(−3+5)+(−7+9)+⋯+(−35+37)−39=9×2−39=18−39=−21(-3 + 5) + (-7 + 9) + \dots + (-35 + 37) - 39 = 9 \times 2 - 39 = 18 - 39 = -21 bulunur.
Her ardışık çiftin toplamı sabit 2 değerini verir ve toplamda 9 adet çift ile bir adet tek terim (-39) kalır.
4
Bulunan fark toplamına dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 eklenir.
a20−2=−21  ⟹  a20=−19a_{20} - 2 = -21 \implies a_{20} = -19 olarak bulunur.
İndirgemeli dizinin 20. teriminin gerçek değerini elde etmek için başlangıç koşulu uygulanmalıdır.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin bulunması.
Rate this question

Topics

İndirgemeli Diziler

More questions from this topic