Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Bir roketin egzoz gazı çıkış hızı vev_e, roketin ilk kütlesi m0m_0 ve yakıt tüketimi sonrasındaki anlık kütlesi mm olmak üzere, roketin ulaştığı hız vv formülü ile hesaplanmaktadır:
v=ve⋅ln⁡(m0m)v = v_e \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)
Boş kütlesi (yakıtsız kütlesi) MM kg olan bir roketin başlangıçtaki yakıt kütlesi 7M7M kg'dır.
Fırlatılan bu roketin anlık hızı, egzoz gazı çıkış hızına ilk kez ulaştığı anda; tüketilen yakıt kütlesinin, kalan yakıt kütlesine oranı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e}Answer
  2. B
    8−e8(e−1)\frac{8-e}{8(e-1)}
  3. C
    8e−77−e\frac{8e-7}{7-e}
  4. D
    7e−88\frac{7e-8}{8}
  5. E
    7(e−1)7−e\frac{7(e-1)}{7-e}

Answer

8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e}
Tüketilen yakıt kütlesinin kalan yakıt kütlesine oranı, roketin hız denkleminin çözülmesiyle 8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Roketin başlangıçtaki toplam kütlesinin (m0m_0) belirlenmesi
m0=M+7M=8Mm_0 = M + 7M = 8M
Formüldeki m0m_0 roketin boş ağırlığı ile yakıt ağırlığının toplamıdır.
2
Roketin hızı egzoz hızına ulaştığı andaki toplam kütlesinin (mm) bulunması
v=ve  ⟹  ve⋅ln⁡(8Mm)=ve  ⟹  ln⁡(8Mm)=1  ⟹  m=8Mev = v_e \implies v_e \cdot \ln\left(\frac{8M}{m}\right) = v_e \implies \ln\left(\frac{8M}{m}\right) = 1 \implies m = \frac{8M}{e}
Hızın egzoz hızına eşitlendiği durumu modellemek için v=vev = v_e eşitliği kurularak mm yalnız bırakılır.
3
Kalan yakıt kütlesinin (mkalanm_{\text{kalan}}) hesaplanması
mkalan=m−M=8Me−M=M(8−ee)m_{\text{kalan}} = m - M = \frac{8M}{e} - M = M\left(\frac{8-e}{e}\right)
Kalan yakıt kütlesi, anlık toplam kütleden roketin boş kütlesinin çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Tüketilen yakıt kütlesinin (mtu¨ketilenm_{\text{tüketilen}}) hesaplanması
mtu¨ketilen=7M−mkalan=7M−M(8−ee)=M(8e−8e)m_{\text{tüketilen}} = 7M - m_{\text{kalan}} = 7M - M\left(\frac{8-e}{e}\right) = M\left(\frac{8e-8}{e}\right)
Tüketilen yakıt kütlesi, başlangıçtaki yakıt kütlesinden kalan yakıt kütlesinin çıkarılmasıyla bulunur.
5
Tüketilen yakıt kütlesinin kalan yakıt kütlesine oranının hesaplanması
Oran=M(8e−8e)M(8−ee)=8(e−1)8−e\text{Oran} = \frac{M\left(\frac{8e-8}{e}\right)}{M\left(\frac{8-e}{e}\right)} = \frac{8(e-1)}{8-e}
Elde edilen kütle değerleri birbirine oranlanarak sadeleştirilir.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin gerçek hayat problemlerindeki uygulamaları ve modelleme
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları