Yarıçapı 12\text{ cm} olan daire şeklindeki bir kartondan bir daire dilimi kesilip kıvrıla… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Yarıçapı $12\text{ cm}$ olan daire şeklindeki bir kartondan bir daire dilimi kesilip kıvrılarak bir dik dairesel koni elde ediliyor. Buna göre, elde edilebilecek en büyük hacimli koninin yüksekliği kaç $\text{cm}$ 'dir?

A
$2\sqrt{6}$
B
6
$4\sqrt{3}$ Answer
D
$4\sqrt{6}$
E
8

Answer

En büyük hacimli koninin yüksekliği

4\sqrt{3}\text{ cm}

'dir.

Oluşturulacak koninin yüksekliği

h

ve taban yarıçapı

r

olduğunda, Pisagor teoreminden

r^2 = 144 - h^2

elde edilir. Koninin hacim fonksiyonu

V(h) = \frac{\pi}{3}(144h - h^3)

olarak yazılır. Bu fonksiyonun türevi

V'(h) = \frac{\pi}{3}(144 - 3h^2)

olup, türevin sıfır olduğu pozitif

h

değeri

h = 4\sqrt{3}

olarak bulunur. Bu değer hacmi en büyük yapar.

Step-by-Step Solution

Koninin geometrik değişkenleri ile kartonun yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak.

Oluşan dik dairesel koninin ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu, kartonun yarıçapı olan

L = 12\text{ cm}

olur. Koninin yüksekliği

h

ve taban yarıçapı

r

olmak üzere, dik üçgenden

r^2 + h^2 = 12^2 = 144 \implies r^2 = 144 - h^2

bağıntısı elde edilir.

Koninin hacmini tek bir değişkenler cinsinden ifade edebilmek amacıyla yükseklik ile yarıçap arasındaki bağıntıyı kurmamız gerekir.

Koninin hacim fonksiyonunu yükseklik (

h

) cinsinden yazmak.

V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (144 - h^2) h = \frac{\pi}{3} (144h - h^3)

Maksimum hacmi bulmak için hacim formülünde

r^2

yerine

h

cinsinden eşiti yazılarak tek değişkenli fonksiyona geçiş yapılır.

Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulmak.

V'(h) = \frac{\pi}{3} (144 - 3h^2) = 0 \implies 144 - 3h^2 = 0 \implies 3h^2 = 144 \implies h^2 = 48 \implies h = 4\sqrt{3}\text{ cm}

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını (maksimum/minimum noktaları) bulmak için türevin sıfır olduğu değerler incelenir.

Bulunan

h = 4\sqrt{3}

değerinin maksimum hacmi verdi��ini doğrulamak.

h \in (0, 12)

aralığında

V'(h)

türevinin işaret tablosu incelendiğinde,

h = 4\sqrt{3}

noktasına kadar fonksiyonun artan, bu noktadan sonra azalan olduğu görülür. Dolayısıyla bu değer maksimum hacmi verir.

Kritik noktanın gerçekten yerel maksimum noktası olduğunu garanti etmek için işaret incelemesi yapılır.

Key Concept

Maksimum ve minimum problemlerinde değişkenlerin birbirine bağlanması, tek değişkenli fonksiyon oluşturulması ve bu fonksiyonun türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic