Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2−xy=xx2+y2=25\begin{aligned} x^2 - xy &= x \\ x^2 + y^2 &= 25 \end{aligned}

Yukarıda verilen denklem sistemini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilisi vardır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 4Answer
  4. D
    3
  5. E
    5

Answer

Denklem sistemini sağlayan 4 farklı gerçel sayı ikilisi vardır.
Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikililerinin sayısı 4'tür. Birinci denklemden x=0x = 0 veya x−y=1x - y = 1 elde edilir. x=0x = 0 için ikinci denklemden y=±5y = \pm 5 gelir ve (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5) çözümleri oluşur. x−y=1x - y = 1 yani x=y+1x = y + 1 için ikinci denklemden y2+y−12=0y^2 + y - 12 = 0 elde edilir, buradan y=3y = 3 ve y=−4y = -4 bulunarak sırasıyla (4,3)(4, 3) ve (−3,−4)(-3, -4) çözümleri elde edilir. Toplamda 4 farklı çözüm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklemi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.
x(x−y−1)=0x(x - y - 1) = 0 elde edilir.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
x=0x = 0 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
02+y2=25  ⟹  y2=25  ⟹  y=50^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 25 \implies y = 5 veya y=−5y = -5 bulunur. Buradan elde edilen ikililer (0,5)(0, 5) ve (0,−5)(0, -5)'dir.
Çarpanlardan birinin sıfır olması durumunda sistemin sağladığı çözümleri bulmak gerekir.
3
x−y=1  ⟹  x=y+1x - y = 1 \implies x = y + 1 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
(y+1)2+y2=25  ⟹  2y2+2y−24=0  ⟹  y2+y−12=0(y+1)^2 + y^2 = 25 \implies 2y^2 + 2y - 24 = 0 \implies y^2 + y - 12 = 0 elde edilir. Bu denklem (y+4)(y−3)=0(y+4)(y-3) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan y=3y = 3 veya y=−4y = -4 bulunur. y=3y = 3 için x=4  ⟹  (4,3)x = 4 \implies (4, 3); y=−4y = -4 için x=−3  ⟹  (−3,−4)x = -3 \implies (-3, -4) elde edilir.
Diğer çarpanın sıfır olma durumuna bağlı olarak sistemin diğer çözümlerini bulmak gerekir.
4
Bulunan tüm çözümleri birleştirerek toplam çözüm sayısını belirleyin.
Sistemi sağlayan ikililer: (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5), (4,3)(4, 3) ve (−3,−4)(-3, -4) olmak üzere 4 tanedir.
Farklı durumlardan elde edilen tüm gerçel sayı ikililerinin birleşimi çözüm kümesini oluşturur.

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çarpanlara ayırma ve yerine koyma yöntemleri ile çözülmesi, sadeleştirme yaparken kök kaybına dikkat edilmesi.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri