Examkin

Question

Difficulty: Very hardBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınarak bir eğri elde ediliyor. Bu eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenerek yeni bir CC eğrisi oluşturuluyor.

Buna göre, f(x)f(x) parabolü ile CC eğrisi arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    16\frac{1}{6}
  2. 13\frac{1}{3}Answer
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    23\frac{2}{3}
  5. E
    11

Answer

Parabol ile elde edilen eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 13\frac{1}{3} birimkaredir.
Parabolün y=xy=x doğrusuna göre simetriği x=4−y2x = 4-y^2 eğrisidir. Bu eğrinin xx-ekseninde negatif yönde 4 birim (x→x+4x \to x+4) ve yy-ekseninde pozitif yönde 4 birim (y→y−4y \to y-4) ötelenmesiyle x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 denklemine sahip CC eğrisi elde edilir. Bu iki eğri x=0x = 0 ve x=−1x = -1 apsisli noktalarda kesişir. [−1,0][-1, 0] aralığında üstteki eğri y=4−x2y = 4-x^2 ve alttaki eğri y=4−−xy = 4-\sqrt{-x} olduğundan, aralarındaki farkın [−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali alındığında alan 13\frac{1}{3} birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınır.
x=4−y2x = 4 - y^2 eğrisi elde edilir.
Bir eğrinin y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınırken denklemdeki xx ve yy değişkenlerinin yerleri değiştirilir.
2
Elde edilen eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenir.
x+4=4−(y−4)2  ⟹  x=−(y−4)2x + 4 = 4 - (y - 4)^2 \implies x = -(y - 4)^2 eğrisi elde edilir.
xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim öteleme için xx yerine x+4x + 4, yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim öteleme için yy yerine y−4y - 4 yazılır.
3
f(x)f(x) parabolü ile yeni oluşturulan CC eğrisinin kesim noktaları belirlenir.
x=−1x = -1 ve x=0x = 0 kesim noktalarıdır.
y=4−x2y = 4 - x^2 denklemi x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 denkleminde yerine yazılırsa: x=−((4−x2)−4)2  ⟹  x=−x4  ⟹  x4+x=0  ⟹  x(x3+1)=0x = -((4 - x^2) - 4)^2 \implies x = -x^4 \implies x^4 + x = 0 \implies x(x^3 + 1) = 0 bulunur. Gerçel kökler x=0x = 0 ve x=−1x = -1 olarak elde edilir.
4
[−1,0][-1, 0] aralığında sınırlandırılan bölgenin alanı için belirli integral kurulur ve hesaplanır.
Alan 13\frac{1}{3} birimkaredir.
[−1,0][-1, 0] aralığında x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 eğrisi düzenlendiğinde y=4−−xy = 4 - \sqrt{-x} elde edilir. Bu aralıkta 4−x2≥4−−x4 - x^2 \ge 4 - \sqrt{-x} olduğundan alan integrali: ∫−10((4−x2)−(4−−x))dx=∫−10(−x−x2)dx\int_{-1}^0 \left( (4 - x^2) - (4 - \sqrt{-x}) \right) dx = \int_{-1}^0 \left( \sqrt{-x} - x^2 \right) dx olur. u=−xu = -x dönüşümüyle integral ∫01(u−u2)du=[23u3/2−u33]01=23−13=13\int_0^1 (\sqrt{u} - u^2) du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} olarak hesaplanır.

Key Concept

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan alanın hesaplanması, yansıma ve öteleme dönüşümleri.

Alternative Method

Alanı y-eksenine göre integre ederek bulmak da mümkündür. İlgili aralık y∈[3,4]y \in [3, 4] olacaktır. Bu aralıkta sağdaki eğri x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 ve soldaki eğri x=−4−yx = -\sqrt{4-y}'dir. Dolayısıyla alan integralimiz ∫34(−(y−4)2−(−4−y))dy=∫34(4−y−(y−4)2)dy\int_3^4 \left( -(y-4)^2 - (-\sqrt{4-y}) \right) dy = \int_3^4 \left( \sqrt{4-y} - (y-4)^2 \right) dy olarak kurulur ve aynı şekilde 13\frac{1}{3} sonucunu verir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

More questions from this topic