Examkin

Question

Difficulty: Hardİndirgemeli Diziler
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+1n+2a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 1}{n+2}
indirgeme bağıntısı tan��mlanıyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

  1. A
    275\frac{27}{5}
  2. B
    12011\frac{120}{11}
  3. 6511\frac{65}{11}Answer
  4. D
    11922\frac{119}{22}
  5. E
    2855\frac{28}{55}

Answer

İlk 10 terimin toplamı olan 65/11 değeri
Verilen indirgemeli bağıntı düzenlenip her iki taraf n+1n+1 ile çarpıldığında, bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yardımıyla teleskopik bir fark bağıntısı elde edilir. Buradan genel terim ak=1/2+1/(k(k+1))a_k = 1/2 + 1/(k(k+1)) olarak bulunur. İlk 10 terim toplandığında ise sabit terimlerin toplamından 5, teleskopik toplamdan ise 1−1/11=10/111 - 1/11 = 10/11 gelir. Bu iki değerin toplamı 65/11 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
İndirgeme bağıntısını düzenleyip her iki tarafı n+1n+1 ile çarpmak.
(n+1)(n+2)an+1=n(n+1)an+(n+1)(n+1)(n+2)a_{n+1} = n(n+1)a_n + (n+1)
Eşitliğin sol ve sağ taraflarında benzer indis yapıları elde ederek teleskopik forma dönüştürmek.
2
bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yapmak.
bn+1=bn+n+1  ⟹  bn+1−bn=n+1b_{n+1} = b_n + n + 1 \implies b_{n+1} - b_n = n + 1
Karmaşık bağıntıyı daha kolay çözülebilen birinci dereceden bir fark denklemine indirgemek.
3
bn+1−bn=n+1b_{n+1} - b_n = n + 1 bağıntısında n=1n=1'den k−1k-1'e kadar değerler yazıp taraf tarafa toplamak.
bk=k(k+1)2+1b_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1
bkb_k genel terimini b1b_1 cinsinden hesaplamak.
4
aka_k terimini yalnız bırakıp ilk 10 terimin toplamını hesaplamak.
∑k=110ak=6511\sum_{k=1}^{10} a_k = \frac{65}{11}
Genel terimdeki kesirli ifadeyi basit kesirlere ayırarak teleskopik toplamı uygulamak.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan yardımıyla teleskopik toplam veya çarpım formuna ulaşılarak genel terimin elde edilmesi.
Rate this question

Topics

İndirgemeli Diziler

More questions from this topic