Examkin

Question

Difficulty: Hardİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolünün tepe noktası TT'dir. Bu parabol ile y=x−3y = x - 3 doğrusu TT ve AA noktalarında kesişmektedir.

Buna göre, parabol ile TATA doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    56\frac{5}{6}
  2. B
    403\frac{40}{3}
  3. 16\frac{1}{6}Answer
  4. D
    3436\frac{343}{6}
  5. E
    43\frac{4}{3}

Answer

Sınırlandırılmıs\cbo¨lgeninalanı16birimkaredir.Sınırlandırılmış bölgenin alanı \frac{1}{6} birimkaredir.
Sınırlandırılmış bölgenin alanı, üstteki doğru (y=x−3y = x - 3) ile alttaki parabol (y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9) arasındaki farkın kesim noktaları olan x=3x=3 ve x=4x=4 sınırları boyunca integralinin alınmasıyla 16\frac{1}{6} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasını bulmak.
y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolü için a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9 değerleri kullanılarak tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62(1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3 bulunur. Ordinatı ise k=32−6(3)+9=0k = 3^2 - 6(3) + 9 = 0 olup tepe noktası T(3,0)T(3, 0) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktasını belirlemek, doğrunun kesim noktalarından birini tespit etmek için gereklidir.
2
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak.
x2−6x+9=x−3  ⟹  x2−7x+12=0  ⟹  (x−3)(x−4)=0x^2 - 6x + 9 = x - 3 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies (x-3)(x-4) = 0 denklemi çözüldüğünde kesim noktalarının apsisleri x=3x = 3 ve x=4x = 4 bulunur. Buradan kesim noktaları T(3,0)T(3, 0) ve A(4,1)A(4, 1) olarak belirlenir.
Entegrasyon sınırlarını ve alanı sınırlayan eğrilerin kesişim noktalarını belirlemek için bu adım uygulanır.
3
Belirli integral yardımıyla alanı hesaplamak.
[3,4][3, 4] aralığında y=x−3y = x - 3 doğrusu parabolün üzerinde olduğundan, alan S=∫34(x−3−(x2−6x+9))dx=∫34(−x2+7x−12)dxS = \int_3^4 (x - 3 - (x^2 - 6x + 9)) dx = \int_3^4 (-x^2 + 7x - 12) dx integrali ile hesaplanır. u=x−3  ⟹  du=dxu = x-3 \implies du = dx dönüşümü yapıldığında sınırlar x=3  ⟹  u=0x=3 \implies u=0 ve x=4  ⟹  u=1x=4 \implies u=1 olur. İntegral ∫01(u−u2)du=[u22−u33]01=12−13=16\int_0^1 (u - u^2) du = \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan bölgenin alanını hesaplamak için üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Alternative Method

Pratik Parabol-Doğru Alan Formülü: Bir doğru ile bir parabolün kesişmesiyle oluşan sınırlı bölgenin alanı, kesim noktalarının apsisleri farkı Δx\Delta x ve parabolün başkatsayısı aa olmak üzere, S=∣a∣⋅(Δx)36S = \frac{|a| \cdot (\Delta x)^3}{6} formülüyle pratik olarak hesaplanabilir. Burada a=1a = 1 ve Δx=4−3=1\Delta x = 4 - 3 = 1 olduğundan, S=1⋅136=16S = \frac{1 \cdot 1^3}{6} = \frac{1}{6} bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

More questions from this topic