Examkin

Question

Difficulty: Very hardİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x2−a2f(x) = x^2 - a^2
g(x)=a2−x2g(x) = a^2 - x^2

parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 7272 birimkaredir.

Buna göre, bu parabollerin kesim noktalarından çizilen teğet doğrularının oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    54
  2. B
    72
  3. 108Answer
  4. D
    144
  5. E
    216

Answer

Parabollerin kesim noktalarındaki teğet doğrularının oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı 108 birimkaredir.
Parabollerin kesişim noktaları x=±3x = \pm 3 olup, bu noktalardan çizilen teğet doğruları y=±6x±18y = \pm 6x \pm 18 denklemlerine sahiptir. Bu doğrular analitik düzlemde köşegen uzunlukları 6 ve 36 birim olan bir eşkenar dörtgen oluşturur. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısı olduğundan, alan 108 birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabollerin kesim noktalarının apsislerini bulmak için f(x)=g(x)f(x) = g(x) ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−a2=a2−x2⇒2x2=2a2⇒x=±ax^2 - a^2 = a^2 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2a^2 \Rightarrow x = \pm a (kesim noktalarının apsisleridir).
İntegral sınırlarını belirlemek ve alanı aa parametresine bağlı olarak ifade etmek amacıyla kesim noktaları bulunur.
2
İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla aa cinsinden hesaplayın.
S=∫−aa(g(x)−f(x)) dx=∫−aa(2a2−2x2) dx=[2a2x−23x3]−aa=83a3S = \int_{-a}^{a} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-a}^{a} (2a^2 - 2x^2) \, dx = \left[ 2a^2 x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-a}^{a} = \frac{8}{3}a^3
Sınırlar dahilinde üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak alan formüle edilir.
3
Hesaplanan alan ifadesini verilen alan değerine (7272) eşitleyerek aa sabitini bulun.
83a3=72⇒a3=27⇒a=3\frac{8}{3}a^3 = 72 \Rightarrow a^3 = 27 \Rightarrow a = 3
Parabollerin net denklemlerini yazabilmek ve teğet noktalarını saptayabilmek için aa değeri hesaplanmalıdır.
4
Parabollerin kesim noktalarını yazın ve bu noktalardaki teğet doğrularının eğimlerini türev yardımıyla hesaplayın.
Kesim noktaları A(−3,0)A(-3, 0) ve B(3,0)B(3, 0) olarak bulunur. Parabollerin türevleri f′(x)=2xf'(x) = 2x ve g′(x)=−2xg'(x) = -2x olup, x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimleri 66 ve −6-6, x=−3x = -3 noktasındaki teğet eğimleri ise −6-6 ve 66 olur.
Teğet doğrularının denklemlerini kurabilmek için teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimler) belirlenmelidir.
5
Teğet doğrularının denklemlerini yazın ve kesişim noktalarından oluşan kapalı bölgeyi belirleyin.
Teğet doğrularının denklemleri y=±6(x±3)y = \pm 6(x \pm 3) yani y=±6x±18y = \pm 6x \pm 18 şeklindedir. Bu doğruların kesişim noktaları (0,18)(0, 18), (3,0)(3, 0), (0,−18)(0, -18) ve (−3,0)(-3, 0) olan bir eşkenar dörtgen oluşturur.
Oluşan geometrik şeklin sınırlarını ve köşegen uzunluklarını belirlemek için teğet doğrularının kesişim noktaları bulunur.
6
Eşkenar dörtgenin alanını köşegen uzunluklarını çarparak hesaplayın.
Yatay köşegen uzunluğu d1=6d_1 = 6 birim, dikey köşegen uzunluğu d2=36d_2 = 36 birimdir. Alan = d1⋅d22=6⋅362=108\frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 36}{2} = 108 birimkaredir.
Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması, türev ile teğet doğrusunun eğiminin bulunması ve analitik düzlemde teğetlerin oluşturduğu bölgenin alan hesabı.

Alternative Method

Alternatif olarak, teğet doğrularının oluşturduğu şeklin birinci bölgedeki kısmının alanını hesaplayıp, şeklin x ve y eksenlerine göre simetrik olmasından faydalanarak bu alanı 4 ile çarpabilirsiniz. Birinci bölgedeki üçgenin köşeleri (0,0)(0,0), (3,0)(3,0) ve (0,18)(0,18) olmadığından, teğet doğrularının sınırladığı dik üçgenin alanı 12⋅3⋅18=27\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 18 = 27 birimkaredir. 4 eş üçgenin toplam alanı 27⋅4=10827 \cdot 4 = 108 birimkare olarak elde edilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

More questions from this topic