x^2 - xy - 2y^2 = 0 x^2 - xy + y^2 - 2x + 4y = 12 denklem sistemini sağlayan ve koordinatl… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x^2 - xy - 2y^2 = 0

x^2 - xy + y^2 - 2x + 4y = 12

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları rasyonel sayılar olan $(x, y)$ gerçek sayı ikilileri için $x + y$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Answer: 6

Answer

Denklem sistemini sağlayan rasyonel koordinatlı gerçek sayı ikilileri için

x + y

toplamının alabileceği en büyük değer 6'dır.

İlk denklem çarpanlarına ayrıldığında

x = 2y

veya

x = -y

elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, yalnızca

x = 2y

durumu rasyonel koordinatlara sahip

(4, 2)

(-4, -2)

çözümlerini verir. Diğer durum irrasyonel koordinatlı çözümler üretir. Rasyonel çözümlerin koordinatları toplamı sırasıyla

6

-6

olup, bu değerlerin en büyüğü

6

'dır.

Step-by-Step Solution

İlk denklemi çarpanlarına ayırma

x^2 - xy - 2y^2 = 0 \implies (x - 2y)(x + y) = 0 \implies x = 2y

veya

x = -y

Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkileri belirleyerek sistemi indirgemek

x = 2y

durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme

3y^2 = 12 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2

. Buradan

(4, 2)

(-4, -2)

rasyonel çözümleri elde edilir.

Birinci koldan gelen rasyonel koordinatlı adayları belirlemek

x = -y

durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme

3y^2 + 6y - 12 = 0 \implies y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y = -1 \pm \sqrt{5}

(irrasyonel)

İkinci koldan gelen çözümlerin koordinatlarının rasyonel olup olmadığını kontrol etmek

Rasyonel çözümler için koordinat toplamlarını karşılaştırma

4 + 2 = 6

-4 + (-2) = -6 \implies

En büyük değer

6

olur.

İstenen en büyük toplam değerini belirlemek

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme, çarpanlara ayırma yöntemi ve rasyonel/irrasyonel kök analizi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics