Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Analitik düzlemde, f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC'dir. Köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı 2424 birimkare olduğuna göre, mm parametresinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

Answer: 6

Answer

m parametresinin alabileceği pozitif değer 6'dır.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(2,0)A(2, 0), B(m,0)B(m, 0) ve C(0,2m)C(0, 2m) olarak elde edilir. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanı 12⋅∣m−2∣⋅∣2m∣=∣m(m−2)∣\frac{1}{2} \cdot |m-2| \cdot |2m| = |m(m-2)| formülüyle hesaplanır. Alanın 24 birimkareye eşitlenmesiyle elde edilen ∣m2−2m∣=24|m^2 - 2m| = 24 denkleminden pozitif gerçel sayı çözümü 66 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.
xx-eksenini kestiği noktalar A(2,0)A(2, 0) ve B(m,0)B(m, 0), yy-eksenini kestiği nokta ise C(0,2m)C(0, 2m) olarak bulunur.
Eksenleri kestiği noktaları bulmak için denklemde y=0y=0 ve x=0x=0 yazılır. x2−(m+2)x+2m=0  ⟹  (x−2)(x−m)=0x^2 - (m+2)x + 2m = 0 \implies (x-2)(x-m) = 0 olduğundan kökler 22 ve mm'dir.
2
Eksenleri kestiği noktalarla oluşan üçgenin alanını mm cinsinden ifade etmek.
Alan(ABC)=∣m2−2m∣=24\text{Alan}(ABC) = |m^2 - 2m| = 24 denklemi elde edilir.
A(2,0)A(2, 0) ve B(m,0)B(m, 0) noktaları arasındaki uzaklık taban (∣m−2∣|m-2|), C(0,2m)C(0, 2m) noktasının xx-eksenine uzaklığı ise yükseklik (∣2m∣|2m|) kabul edilirse; Alan(ABC)=12⋅∣m−2∣⋅∣2m∣=∣m(m−2)∣\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |m-2| \cdot |2m| = |m(m-2)| olur.
3
mm değerini bulmak için mutlak değerli denklemi çözmek.
Pozitif mm değeri 66 olarak bulunur.
∣m2−2m∣=24|m^2 - 2m| = 24 eşitliğinden m2−2m=24  ⟹  m2−2m−24=0  ⟹  (m−6)(m+4)=0m^2 - 2m = 24 \implies m^2 - 2m - 24 = 0 \implies (m-6)(m+4) = 0 olur. Buradan m=6m=6 veya m=−4m=-4 bulunur. Diğer durum olan m2−2m=−24m^2 - 2m = -24 denkleminin gerçel kökü yoktur. Soruda pozitif değer istendiği için m=6m=6 seçilir.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktalar yardımıyla geometrik alan hesabı yapılması.
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic