(a_n) gerçel sayı dizisinin ilk terimi a_1 = 2 olup her n \geq 1 tam sayısı için a_{n+1} =… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$(a_n)$ gerçel sayı dizisinin ilk terimi $a_1 = 2$ olup her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} = a_n + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, genel terimi $b_n = \frac{1}{3 - a_n}$ olan $(b_n)$ dizisinin ilk 9 teriminin toplamı kaçtır?

Answer: 285

285

Verilen indirgemeli dizinin genel terimi teleskopik toplam yöntemiyle

a_n = 3 - \frac{1}{n^2}

olarak bulunur. Bu ifade

b_n

dizisinin tanımında yerine konulduğunda

b_n = n^2

elde edilir. İlk 9 terimin toplamı olan

\sum_{n=1}^9 n^2

ifadesi de kareler toplamı formülüyle 285 olarak hesaplanır.

İndirgeme bağıntısındaki terimi teleskopik toplam oluşturacak şekilde düzenleme

a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}

Ardışık terimler arasındaki farkı sadeleşebilir (teleskopik) biçimde yazarak

a_n

genel terimine ulaşmak.

n

yerine

1

n-1

arasındaki tam sayıları yazarak taraf tarafa toplama

a_n - a_1 = \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) = 1 - \frac{1}{n^2}

Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak

a_n

ile

a_1

arasındaki ilişkiyi bulmak.

Verilen

a_1 = 2

ilk terim değerini yerine yazarak

a_n

dizisinin genel terimini belirleme

a_n = 3 - \frac{1}{n^2}

Dizinin genel terimini bularak

b_n

dizisini tanımlayabilmek.

b_n

dizisinin genel terimini elde etme

b_n = \frac{1}{3 - \left(3 - \frac{1}{n^2}\right)} = n^2

b_n

dizisinin genel terimini

n

cinsinden ifade etmek.

(b_n)

dizisinin ilk 9 teriminin toplamını hesaplama

\sum_{n=1}^{9} b_n = 1^2 + 2^2 + \dots + 9^2 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 285

İlk

n

kare toplamı formülü olan

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

ifadesini

n=9

için kullanmak.

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak genel terimin bulunması

Question