Aşağıda sol sütunda koordinat düzleminde sınırları belirtilen bölgeler, sağ sütunda ise bu… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Aşağıda sol sütunda koordinat düzleminde sınırları belirtilen bölgeler, sağ sütunda ise bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integraller verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Birinci bölgede; $y = \sqrt{x}$ eğrisi, $y = x - 2$ doğrusu ve $y$ ekseni arasında kalan sınırlı bölge $\int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy$
$y = x^2$ parabolü, bu parabole $x = 2$ noktasından çizilen teğet doğrusu ve $y$ ekseni arasında kalan sınırlı bölge $\int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx$
$y = e^x$ eğrisi, $y = e^{-x}$ eğrisi ve $y = e$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölge $\int_{1}^{e} 2\ln y \, dy$

Answer

Birinci bölgedeki

y = \sqrt{x}

y = x-2

y

ekseni arasındaki alan

\int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy

integrali ile;

y = x^2

, bu eğriye

x=2

'de teğet olan doğru ve

y

ekseni arasındaki alan

\int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx

integrali ile;

y = e^x

y = e^{-x}

y = e

arasındaki alan ise

\int_{1}^{e} 2\ln y \, dy

integrali ile eşleşir.

Verilen her bir geometrik ve cebirsel tanım, alanın integralle ifadesi kuralları (üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılması veya

y

ekseni boyunca sağdakinden soldakinin çıkarılması) kullanılarak integral ifadeleriyle birebir eşleşir. Özellikle birinci bölgede iki farklı integralin birleştirilmesiyle elde edilen integral, bölgenin toplam alanına tam olarak karşılık gelmektedir.

Step-by-Step Solution

Birinci bölge için sınırları ve kesişim noktalarını belirleme

y = \sqrt{x}

ile

y = x - 2

doğrularının kesişim noktası

x = 4

y = 2

'dir.

y

ekseni sınır olduğundan

y

değişkenine göre entegre edildiğinde,

y \in [-2, 0]

için

x = 0

x = y+2

;

y \in [0, 2]

için

x = y^2

x = y+2

sınırları kullanılır.

Alan integralini tek bir değişkene bağlı olarak daha basit biçimde ifade edebilmek için.

Birinci bölgenin integral ifadesini oluşturma

A_1 = \int_{-2}^{0} (y+2) \, dy + \int_{0}^{2} (y+2 - y^2) \, dy = \int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy

İntegral sınırlarının birleştirilmesiyle sade bir gösterim elde etmek için.

İkinci bölge için teğet doğrusunu ve sınırları bulma

x = 2

noktasında

y = x^2

parabolüne çizilen teğet doğrusunun denklemi

y = 4x - 4

olarak bulunur. Kesişim noktası teğet noktası olan

x=2

ve sol sınır

x=0

'dır.

Sınırlı bölgenin alt sınırını oluşturan doğrunun denklemini elde etmek için.

İkinci bölgenin integral ifadesini yazma

A_2 = \int_{0}^{2} (x^2 - (4x-4)) \, dx = \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx

İki eğri arasında kalan alanın üstteki eğriden alttaki eğrinin çıkarılmasıyla bulunması kuralını uygulamak için.

Üçüncü bölge için eğrileri

y

cinsinden yazıp kesişim sınırlarını bulma

y = e^x \implies x = \ln y

y = e^{-x} \implies x = -\ln y

. Bu eğriler

y = 1

düzeyinde kesişirler ve üstten

y = e

doğrusu ile sınırlıdırlar.

Alan integralini

y

ekseni boyunca dilimleyerek kurmak için.

Üçüncü bölgenin integral ifadesini yazma

A_3 = \int_{1}^{e} (\ln y - (-\ln y)) \, dy = \int_{1}^{e} 2\ln y \, dy

Sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılarak

y

değişkenine göre belirli integralinin alınmasıyla alanı hesaplamak için.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının, uygun değişken (x veya y) seçilerek belirli integral yardımıyla ifade edilmesi ve hesaplanması.

Alternative Method

Birinci bölge için alanı

x

ekseni boyunca iki parçaya ayırarak hesaplayabiliriz:

x \in [0, 2]

aralığında

\int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx

x \in [2, 4]

aralığında

\int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx

integrallerinin toplamı da aynı alanı verir. Ancak bu biçim, sağ sütundaki tekil integral biçimlerinden daha karmaşık görünür.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic