Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizi ve Özellikleri
Tüm elemanları pozitif olan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a4⋅a6=144a_4 \cdot a_6 = 144
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği kullanılarak a5=12a_5 = 12 ve ardından a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 olarak bulunur. Toplamları 51 ve çarpımları 144 olan pozitif sayılar 3 ve 48'dir. Dizi artan olduğu için a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır. a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 eşitliğinden r4=16r^4 = 16 elde edilir ve pozitif terimli dizi şartından dolayı ortak çarpan 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
a4⋅a6=a52a_4 \cdot a_6 = a_5^2 eşitliğini kullanarak a5a_5 terimini hesaplama.
a52=144⇒a5=12a_5^2 = 144 \Rightarrow a_5 = 12 (tüm terimler pozitif olduğu için a5>0a_5 > 0 olmalıdır).
Geometrik dizide ardışık terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.
2
a3⋅a7a_3 \cdot a_7 çarpımını a5a_5 cinsinden yazarak değerini bulma.
a3⋅a7=a52=144a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 144
Geometrik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=5+53+7 = 5+5 olduğundan a3⋅a7=a52a_3 \cdot a_7 = a_5^2 olur).
3
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51 ve a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 bilgilerini kullanarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini belirleme.
t2−51t+144=0⇒(t−48)(t−3)=0t^2 - 51t + 144 = 0 \Rightarrow (t - 48)(t - 3) = 0 denkleminin kökleri 33 ve 4848'dir.
Toplamları ve çarpımları bilinen iki sayıyı bulmak için kökleri bu sayılar olan ikinci dereceden denklem çözülür.
4
Dizinin artan olma koşulunu uygulayarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini atama.
a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır.
Dizi artan ve tüm terimleri pozitif olduğundan, indisi daha büyük olan terim daha büyük olmalıdır (a3<a7a_3 < a_7).
5
a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 ilişkisini kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplama.
48=3⋅r4⇒r4=16⇒r=248 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16 \Rightarrow r = 2 (terimler pozitif olduğundan r>0r > 0 olmalıdır).
Geometrik dizinin genel terim tanımından a7=a3⋅r7−3a_7 = a_3 \cdot r^{7-3} yazılır.

Key Concept

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve genel terim formülü.
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic