Examkin

Question

Difficulty: Very hardİndirgemeli Diziler
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+2n−2n+1a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 2n - 2}{n+1}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.
Buna göre, bu dizinin otuzuncu terimi olan a30a_{30} değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    1756\frac{175}{6}
  2. B
    84730\frac{847}{30}
  3. 81730\frac{817}{30}Answer
  4. D
    78730\frac{787}{30}
  5. E
    31110\frac{311}{10}

Answer

Dizinin otuzuncu terimi olan 817/30 değeridir.
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi (n+1)an+1−nan=2n−2(n+1)a_{n+1} - na_n = 2n-2 şeklinde yazıp taraf tarafa topladığımızda genel terim an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olarak bulunur. Bu genel terimde n=30n = 30 yazıldığında 81730\frac{817}{30} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İndirgeme bağıntısını düzenlemek için her iki tarafı n+1n+1 ile çarparız.
(n+1)an+1=nan+2n−2(n+1)a_{n+1} = n a_n + 2n - 2 elde edilir.
Ardışık terimleri birbiri cinsinden yazıp teleskopik toplam elde etmek için.
2
bn=nanb_n = n a_n değişken değiştirmesini tanımlarız.
bn+1=bn+2n−2b_{n+1} = b_n + 2n - 2 bağıntısı elde edilir.
Bağıntıyı daha basit bir birinci dereceden fark denklemine dönüştürmek için.
3
bnb_n dizisinin genel terimini bulmak için terimleri n=1n=1'den n−1n-1'e kadar yazar ve taraf tarafa toplarız.
bn=b1+∑k=1n−1(2k−2)b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 2) ve b1=1⋅a1=5b_1 = 1 \cdot a_1 = 5 olduğundan bn=5+n2−3n+2=n2−3n+7b_n = 5 + n^2 - 3n + 2 = n^2 - 3n + 7 bulunur.
Aritmetik toplam formüllerini uygulayarak bnb_n ifadesini kapalı formda yazmak için.
4
bn=nanb_n = n a_n tanımından faydalanarak ana_n genel terimini bulur ve n=30n=30 değerini yerine yazarız.
an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olduğundan a30=302−3(30)+730=81730a_{30} = \frac{30^2 - 3(30) + 7}{30} = \frac{817}{30} olarak elde edilir.
Bizden istenen 30. terimin değerini hesaplamak için.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme ve teleskopik toplam yöntemiyle genel terim bulma.
Rate this question

Topics

İndirgemeli Diziler

More questions from this topic