Examkin

Question

Difficulty: Mediumİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

  • y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx
  • y=x2−4xy = x^2 - 4x parabolü ile y=2x−x2y = 2x - x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx
  • y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx

Answer

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusunun sınırladığı alan ∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx integrali ile; y=x2−4xy = x^2 - 4x ve y=2x−x2y = 2x - x^2 parabollerinin sınırladığı alan ∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx integrali ile; y=x3y = x^3 eğrisi ve y=4xy = 4x doğrusunun sınırladığı alan ise 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her üç sınırlı bölge için kesişim noktaları doğru şekilde bulunmuş ve ilgili aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğu tespit edilerek doğru belirli integral formülleriyle eşleştirilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
2−x2=−x  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=−12 - x^2 = -x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=2x = 2
İntegral sınırlarını tespit etmek için eğrilerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
Birinci bölgenin alan integralini yazma
[−1,2][-1, 2] aralığında üstteki eğri y=2−x2y = 2 - x^2, alttaki eğri y=−xy = -x olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(2−x2−(−x)) dx=∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 - x^2 - (-x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx olur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyonun denklemi ile alttaki fonksiyonun denkleminin farkının sınır değerleri arasında entegre edilmesiyle bulunur.
3
İkinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
x2−4x=2x−x2  ⟹  2x2−6x=0  ⟹  2x(x−3)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3
İkinci alanın sınır değerlerini bulmak için iki parabolün kesişim noktaları hesaplanır.
4
İkinci bölgenin alan integralini yazma
[0,3][0, 3] aralığında üstteki parabol y=2x−x2y = 2x - x^2, alttaki parabol y=x2−4xy = x^2 - 4x olduğundan alan integral ifadesi ∫03((2x−x2)−(x2−4x)) dx=∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} ((2x - x^2) - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx olur.
Üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak integral kurulur.
5
Üçüncü bölge için kesişim noktalarını belirleme
x3=4x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0  ⟹  x=−2x^3 = 4x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2
Eğri ve doğrunun kesiştiği tüm noktalar bulunarak sınır değerler tespit edilir.
6
Üçüncü bölgenin simetri özelliğini kullanarak alan integralini yazma
[−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar simetriden dolayı eşittir. [0,2][0, 2] aralığında üstteki doğru y=4xy = 4x ve alttaki eğri y=x3y = x^3 olduğundan toplam alan integral ifadesi 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Tek fonksiyonların simetrik sınırlardaki mutlak alanları eşit olduğundan, toplam alan tek bir bölgenin alanının iki katı olarak yazılabilir.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın hesabı, eğrilerin kesişim noktaları belirlendikten sonra, üstte kalan eğrinin denkleminden altta kalan eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin bu kesişim noktaları sınırlarında integralinin alınmasıyla yapılır.
Rate this question

Topics

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

More questions from this topic