Examkin

Question

Difficulty: Very hardBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Bir kargo firmasında, özdeş paketlerin kütlelerini belirlemek için eşit kollu bir terazi kullanılmaktadır. Bu terazinin sol kefesine kütlesi xx kg olan mavi paketlerden 4 adet ve kütlesi mavi paketin kütlesinden 2 kg az olan kırmızı paketlerden 3 adet konulmuştur. Terazinin sağ kefesine ise kütlesi mavi paketin kütlesinin 2 katından 5 kg az olan yeşil paketlerden 2 adet ve aa kg'lık demir bir ağırlık konulduğunda terazi dengeye gelmektedir.

Terazideki tüm paketlerin kütleleri kg cinsinden birer pozitif tam sayı ve aa bir tam sayı olduğuna göre, aa aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    10
  2. B
    14
  3. 22Answer
  4. D
    17
  5. E
    26

Answer

Paket kütlelerinin pozitif tam sayı olma koşulunu sağlayan ve terazinin dengesini kuran 22 kg ağırlığındaki demir kütle.
Doğru cevap olan 22 değeri, terazinin sol ve sağ kefelerindeki kütlelerin eşitliğinden elde edilen a=3x+4a = 3x + 4 denkleminde x=6x = 6 tam sayı değerine karşılık gelir. Bu durumda tüm paketlerin kütleleri pozitif tam sayı olma koşulunu sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Sol ve sağ kefedeki toplam kütleleri belirleyerek denge denklemini kurmak.
Sol kefe: 4x+3(x−2)=7x−64x + 3(x-2) = 7x - 6 kg. Sağ kefe: 2(2x−5)+a=4x−10+a2(2x-5) + a = 4x - 10 + a kg. Denge denklemi: 7x−6=4x−10+a7x - 6 = 4x - 10 + a.
Terazinin dengede olması sol ve sağ kefelerdeki kütlelerin birbirine eşit olmasını gerektirir.
2
Denge denklemini düzenleyerek aa değişkenini xx cinsinden ifade etmek.
7x−4x−6+10=a⇒a=3x+47x - 4x - 6 + 10 = a \Rightarrow a = 3x + 4.
Seçeneklerdeki aa değerlerini test etmek ve xx değerlerini bulmak için denklem sadeleştirilir.
3
Paket kütlelerinin pozitif tam sayı olma koşullarını belirlemek.
Mavi paket: x>0x > 0, Kırmızı paket: x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2, Yeşil paket: 2x−5>0⇒x>2.52x - 5 > 0 \Rightarrow x > 2.5. Dolayısıyla x≥3x \ge 3 şartını sağlayan bir tam sayı olmalıdır.
Fiziksel kütlelerin pozitif olması ve sorudaki tam sayı koşulunun sağlanması gerekir.
4
Seçenekleri analiz ederek koşulları sağlayan aa ve xx değerlerini tespit etmek.
a=22a = 22 için 22=3x+4⇒3x=18⇒x=622 = 3x + 4 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6 elde edilir. x=6x = 6 bir tam sayıdır ve x≥3x \ge 3 koşulunu sağladığından tüm paket kütleleri pozitif tam sayılardır.
Hem tam sayı hem de pozitif kütle sınır koşullarını sağlayan tek seçeneği belirlemek.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması, çözülmesi ve bilinmeyenin ait olduğu sayı kümesine göre sınır koşullarının (pozitiflik ve tam sayı olma) değerlendirilmesi.

Alternative Method

Terazinin dengede kalabilmesi için a=3x+4a = 3x + 4 olmalıdır. Buradan a≡4(mod3)a \equiv 4 \pmod 3 ya da a−4a - 4 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi gerektiği görülür. Seçeneklerde a−4a - 4 işleminin sonucunun 3'ün katı olduğu şıklar 10 (10−4=610-4=6) ve 22 (22−4=1822-4=18) değerleridir. a=10a = 10 için x=2x=2 olur ancak kırmızı paketin kütlesi 2−2=02-2=0 kg olacağından pozitif tam sayı koşulunu sağlamaz. Bu nedenle doğru cevap doğrudan 22 olarak bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

More questions from this topic