Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff çift fonksiyon, gg ise tek fonksiyondur. Her xx gerçel sayısı için,
f(x)−3⋅g(−x)=2x2−6x+4f(x) - 3 \cdot g(-x) = 2x^2 - 6x + 4
eşitliği sağlandığına göre, f(3)+g(3)f(3) + g(3) toplamının değeri kaçtır?

Answer: 16

Answer

f(3)+g(3)f(3) + g(3) toplamının değeri 16'dır.
Verilen f(x)−3g(−x)=2x2−6x+4f(x) - 3g(-x) = 2x^2 - 6x + 4 eşitliğinde g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) parite özelliği kullanılarak f(x)+3g(x)=2x2−6x+4f(x) + 3g(x) = 2x^2 - 6x + 4 denklemi elde edilir. Bu denklemde sırasıyla x=3x=3 ve x=−3x=-3 değerleri yazılıp f(−3)=f(3)f(-3)=f(3) ile g(−3)=−g(3)g(-3)=-g(3) özellikleri uygulandığında elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden f(3)=22f(3) = 22 ve g(3)=−6g(3) = -6 bulunur. Buradan da toplam 16 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde tek fonksiyon özelliğini uygulayarak denklemi sadeleştirmek.
f(x)+3g(x)=2x2−6x+4f(x) + 3g(x) = 2x^2 - 6x + 4 denklemi elde edilir.
gg tek fonksiyon olduğundan g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen denklemde x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) ve g(3)g(3) terimlerini içeren ilk denklemi bulmak.
f(3)+3g(3)=4f(3) + 3g(3) = 4 eşitliği elde edilir.
x=3x=3 için 2(3)2−6(3)+4=18−18+4=42(3)^2 - 6(3) + 4 = 18 - 18 + 4 = 4 olur.
3
Elde edilen denklemde x=−3x = -3 yazarak f(−3)f(-3) ve g(−3)g(-3) terimlerini içeren ikinci denklemi bulmak ve çift/tek fonksiyon özellikleri ile düzenlemek.
f(3)−3g(3)=40f(3) - 3g(3) = 40 eşitliği elde edilir.
x=−3x=-3 için 2(−3)2−6(−3)+4=402(-3)^2 - 6(-3) + 4 = 40 olur. Ayrıca ff çift olduğundan f(−3)=f(3)f(-3)=f(3) ve gg tek olduğundan g(−3)=−g(3)g(-3)=-g(3) eşitlikleri kullanılır.
4
Bulunan f(3)+3g(3)=4f(3) + 3g(3) = 4 ve f(3)−3g(3)=40f(3) - 3g(3) = 40 denklem sistemini çözerek f(3)f(3) ve g(3)g(3) değerlerini hesaplamak.
f(3)=22f(3) = 22 ve g(3)=−6g(3) = -6 olarak bulunur.
Denklemler taraf tarafa toplandığında 2f(3)=44⇒f(3)=222f(3) = 44 \Rightarrow f(3) = 22 elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 22+3g(3)=4⇒3g(3)=−18⇒g(3)=−622 + 3g(3) = 4 \Rightarrow 3g(3) = -18 \Rightarrow g(3) = -6 olur.
5
f(3)+g(3)f(3) + g(3) toplamını hesaplamak.
f(3)+g(3)=22+(−6)=16f(3) + g(3) = 22 + (-6) = 16 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini bulmak için.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların parite özellikleri (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)) ve fonksiyonel denklemlerin çözümü.
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Fonksiyonlar

More questions from this topic