Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Problemleri

Bir şirketteki çalışanlar AA, BB ve CC projelerinde görev almaktadır. Bu çalışanların projelerdeki görev dağılımıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her çalışan en az bir, en fazla iki projede görev almaktadır.
* AA projesinde görev alan çalışan sayısı, BB projesinde görev alan çalışan sayısının 22 katıdır.
* Yalnızca CC projesinde görev alan çalışan sayısı, yalnızca AA projesinde görev alan çalışan sayısından 1010 fazladır.
* Projelerdeki toplam görev sayısı (birden fazla projede görev yapan çalışanların her görevi ayrı ayrı sayılmak üzere) 140140'tır.
* İki projede birden görev alan toplam çalışan sayısı, yalnızca bir projede görev alan toplam çalışan sayısının yarısıdır.

Buna göre, BB projesinde görev alan çalışan sayısı en az kaçtır?

  1. A
    20
  2. 22Answer
  3. C
    24
  4. D
    26
  5. E
    28

Answer

Blokzincir (B) projesinde görev alan çalışan sayısı en az 22'dir.
Blokzincir (B) projesinde görev alan en az çalışan sayısı, tek ve çift projelerde çalışanların sayısal sınırları analiz edildiğinde ve doğrusal denklem sistemleri kurulduğunda 22 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Çalışanları görev aldıkları proje sayılarına göre sınıflandıralım.
Yalnızca bir projede görev alan çalışan sayısı x1x_1, iki projede birden görev alan çalışan sayısı x2x_2 olsun. Toplam görev sayısı x1+2x2=140x_1 + 2x_2 = 140 olur. Sorudaki orana göre x2=x12  ⟹  x1=2x2x_2 = \frac{x_1}{2} \implies x_1 = 2x_2 yazılır. Buradan 2x2+2x2=140  ⟹  x2=352x_2 + 2x_2 = 140 \implies x_2 = 35 ve x1=70x_1 = 70 bulunur.
Toplam çalışan ve görev dağılımını belirlemek için temel oran denklemini çözmemiz gerekir.
2
Küme eleman sayılarını ve aralarındaki ilişkileri tanımlayalım.
Yalnızca AA, BB ve CC'de görev alanların sayıları sırasıyla aa, bb, cc olsun. a+b+c=70a + b + c = 70 olur. İkişerli kesişimlerde görev alanların sayıları abab, bcbc, caca olsun. ab+bc+ca=35ab + bc + ca = 35 olur. c=a+10c = a + 10 verildiğinden, a+b+a+10=70  ⟹  2a+b=60  ⟹  b=60−2aa + b + a + 10 = 70 \implies 2a + b = 60 \implies b = 60 - 2a elde edilir. Burada b≥0b \ge 0 olduğundan a≤30a \le 30 olmalıdır.
Projelerin kendi içlerindeki dağılımı analiz etmek ve sınır koşullarını belirlemek için değişkenleri sadeleştiriyoruz.
3
Projelerdeki çalışan sayıları arasındaki kat ilişkisini kuralım.
∣A∣=a+ab+ca|A| = a + ab + ca ve ∣B∣=b+ab+bc|B| = b + ab + bc ifadelerini kullanalım. ∣A∣=2∣B∣  ⟹  a+ab+ca=2b+2ab+2bc|A| = 2|B| \implies a + ab + ca = 2b + 2ab + 2bc olur. Burada b=60−2ab = 60 - 2a ve ca=35−ab−bcca = 35 - ab - bc eşitliklerini yerine koyarsak: a+35−bc=120−4a+2ab+2bc  ⟹  5a−2ab−3bc=85a + 35 - bc = 120 - 4a + 2ab + 2bc \implies 5a - 2ab - 3bc = 85 elde edilir.
A ve B projelerindeki çalışan sayıları arasındaki oranı kullanarak değişkenler arasında yeni bir denklem türetiyoruz.
4
B projesindeki çalışan sayısını en az yapacak şekilde optimizasyon yapalım.
∣B∣=b+ab+bc=60−2a+S|B| = b + ab + bc = 60 - 2a + S (Burada S=ab+bcS = ab + bc olsun). Adım 3'teki denklemden 2(ab+bc)+bc=5a−85  ⟹  2S+bc=5a−852(ab + bc) + bc = 5a - 85 \implies 2S + bc = 5a - 85 yazılır. bc≥0bc \ge 0 ve ab≥0ab \ge 0 sınırlarından 5a−853≤S≤2.5a−42.5\frac{5a - 85}{3} \le S \le 2.5a - 42.5 eşitsizliği bulunur. Buradan ∣B∣≥60−2a+5a−853=95−a3|B| \ge 60 - 2a + \frac{5a - 85}{3} = \frac{95 - a}{3} elde edilir. aa değerini en çok 3030 seçebileceğimiz için ∣B∣≥95−303=653≈21.67|B| \ge \frac{95 - 30}{3} = \frac{65}{3} \approx 21.67 olur. En az tam sayı değeri 2222 olarak bulunur.
Eşitsizlik sınırları altında B projesinde görev alan çalışan sayısının alabileceği en küçük tam sayı değerini belirlemek için optimizasyon uygulanır.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma, küme sistemleri modelleme ve eşitsizlikler yardımıyla optimizasyon yapma.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic