Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri
P(x)=2x18a−2−x10−a+a−1P(x) = 2x^{\frac{18}{a-2}} - x^{10-a} + a - 1

ifadesi bir polinom belirtmektedir.

Derecesi en küçük olan P(x)P(x) polinomu için,

der[P(x2)⋅Q(x)]=11\text{der}[P(x^2) \cdot Q(x)] = 11

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, Q(P(x))Q(P(x)) polinomunun derecesi kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. C
    12
  4. 15Answer
  5. E
    18

Answer

Bileşke polinomunun derecesi 15 olarak bulunur.
Derecesi en küçük seçilen P(x) polinomunun derecesi 3, verilen derece denkleminden yararlanılarak hesaplanan Q(x) polinomunun derecesi ise 5'tir. Bu iki polinomun bileşkesinin derecesi, derecelerinin çarpımı olan 15 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
P(x) ifadesinin bir polinom belirtmesi için x'in üslerinin doğal sayı olması koşulunu belirleme.
a−2>0a - 2 > 0 ve a−2a - 2 sayısı 18'in pozitif bir böleni olmalıdır. Ayrıca 10−a≥0  ⟹  a≤1010 - a \geq 0 \implies a \leq 10 olmalıdır.
Polinom tanımı gereği, değişkenlerin üsleri doğal sayılar kümesinin (N = {0, 1, 2, ...}) elemanı olmalıdır.
2
18'in pozitif bölenlerini yazıp a parametresinin alabileceği değerleri ve bunlara karşılık gelen P(x) polinomunun derecelerini hesaplama.
a−2∈{1,2,3,6,9,18}  ⟹  a∈{3,4,5,8,11,20}a - 2 \in \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \implies a \in \{3, 4, 5, 8, 11, 20\}. a≤10a \leq 10 koşulunu sağlayan a değerleri: 3, 4, 5 ve 8'dir. Bu değerler i��in dereceler sırasıyla 18, 9, 6 ve 3 olur.
Derecesi en küçük olan P(x) polinomunu seçebilmek için tüm alternatif dereceleri karşılaştırmamız gerekir.
3
Derecesi en küçük olan P(x) polinomunu belirleme ve Q(x) polinomunun derecesini bulma.
En küçük derece der[P(x)]=3\text{der}[P(x)] = 3'tür (a = 8 için). der[P(x2)⋅Q(x)]=2⋅der[P(x)]+der[Q(x)]=11  ⟹  2⋅3+der[Q(x)]=11  ⟹  der[Q(x)]=5\text{der}[P(x^2) \cdot Q(x)] = 2 \cdot \text{der}[P(x)] + \text{der}[Q(x)] = 11 \implies 2 \cdot 3 + \text{der}[Q(x)] = 11 \implies \text{der}[Q(x)] = 5 bulunur.
Çarpım polinomunun derecesi, çarpan polinomların derecelerinin toplamına; P(xk)P(x^k) ifadesinin derecesi ise derece ile k'nin çarpımına eşittir.
4
Q(P(x)) bileşke polinomunun derecesini hesaplama.
der[Q(P(x))]=der[Q(x)]⋅der[P(x)]=5⋅3=15\text{der}[Q(P(x))] = \text{der}[Q(x)] \cdot \text{der}[P(x)] = 5 \cdot 3 = 15 elde edilir.
Bileşke polinomunun derecesi, bileşkeyi oluşturan polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

Polinom Tanım Kriterleri ve Polinomlarda Derece İşlemleri
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri

More questions from this topic