Examkin

Question

Difficulty: MediumBirim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonlar
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} doğrusal fonksiyon ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sabit fonksiyon olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f(x+g(x))=2x+5f(x + g(x)) = 2x + 5
f(g(x))=g(f(x))+1f(g(x)) = g(f(x)) + 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)+g(−3)f(4) + g(-3) toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    7
  2. 9Answer
  3. C
    11
  4. D
    13
  5. E
    15

Answer

9
ff doğrusal fonksiyon olduğundan f(x)=ax+bf(x) = ax + b ve gg sabit fonksiyon olduğundan g(x)=cg(x) = c (cc bir gerçel sayı) şeklinde yazılabilir. İlk eşitlikte g(x)g(x) yerine cc yazıldığında f(x+c)=a(x+c)+b=ax+ac+b=2x+5f(x + c) = a(x + c) + b = ax + ac + b = 2x + 5 elde edilir. Buradan a=2a = 2 ve 2c+b=52c + b = 5 bulunur. İkinci eşitlikte sabit fonksiyon özelliğinden dolayı g(f(x))=cg(f(x)) = c ve f(g(x))=f(c)=2c+bf(g(x)) = f(c) = 2c + b olur. Bu değerler eşitlikte yerine yazıldığında 2c+b=c+1  ⟹  c+b=12c + b = c + 1 \implies c + b = 1 elde edilir. Bu iki bilinmeyenli denklem sisteminden c=4c = 4 ve b=−3b = -3 olarak bulunur. Dolayısıyla f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 ve g(x)=4g(x) = 4 fonksiyonları elde edilir. Buradan f(4)+g(−3)=5+4=9f(4) + g(-3) = 5 + 4 = 9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
ff ve gg fonksiyonlarının genel kurallarını belirleme
f(x)=ax+bf(x) = ax + b ve g(x)=cg(x) = c (cc bir sabit sayı)
ff fonksiyonunun doğrusal, gg fonksiyonunun ise sabit fonksiyon olduğu belirtilmiştir.
2
f(x+g(x))=2x+5f(x + g(x)) = 2x + 5 eşitliğini kullanma
a=2a = 2 ve 2c+b=52c + b = 5
f(x+c)=a(x+c)+b=ax+ac+bf(x+c) = a(x+c) + b = ax + ac + b ifadesinin 2x+52x + 5 ifadesine eşitlenmesiyle katsayılar karşılaştırılır.
3
f(g(x))=g(f(x))+1f(g(x)) = g(f(x)) + 1 eşitliğini kullanma
c+b=1c + b = 1
gg sabit fonksiyon olduğundan g(f(x))=cg(f(x)) = c ve f(g(x))=f(c)=2c+bf(g(x)) = f(c) = 2c + b olur. Eşitlikten 2c+b=c+12c + b = c + 1 elde edilir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözme
c=4c = 4 ve b=−3b = -3
2c+b=52c + b = 5 ve c+b=1c + b = 1 denklemleri taraf tarafa çıkarılarak cc ve bb değerleri bulunur.
5
İstenen toplam değerini hesaplama
f(4)+g(−3)=9f(4) + g(-3) = 9
f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 ve g(x)=4g(x) = 4 olduğundan f(4)=5f(4) = 5 ve g(−3)=4g(-3) = 4 olur, toplamları 99 yapar.

Key Concept

Doğrusal ve sabit fonksiyonların cebirsel özellikleri ve bileşke işlemleri
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonlar

More questions from this topic