Gerçel katsayılı P(x) ve Q(x) polinomları için, \text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] = 17 \text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 8\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, P(Q(x)) polinomunun derecesi kaçtır?

Gerçel katsayılı P(x) ve Q(x) polinomları için, \text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] = 17 \text{d… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Gerçel katsayılı

P(x)

Q(x)

polinomları için,

\text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] = 17

\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $P(Q(x))$ polinomunun derecesi kaçtır?

Bileşke polinomun derecesi 10'dur.

Verilen derece özelliklerine göre denklem sistemi kurulup çözüldüğünde

P(x)

polinomunun derecesi 5,

Q(x)

polinomunun derecesi 2 olarak bulunur. Bileşke polinomun derecesi ise bu iki derecenin çarpımına eşit olduğundan

5 \times 2 = 10

elde edilir.

Polinomların derecelerini sembolik olarak tanımlama.

P(x)

polinomunun derecesi

p

Q(x)

polinomunun derecesi

q

olsun (

p, q \in \mathbb{N}

Derece kurallarını cebirsel olarak ifade edebilmek için değişken tanımlamamız gerekir.

Verilen derece işlemlerini denklemlere dönüştürme.

\text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] = 3p + q = 17

\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 2p - q = 8

denklemleri elde edilir.

\text{der}[P(x^k)] = k \cdot \text{der}[P(x)]

, çarpımın derecesi derecelerin toplamı, bölümün derecesi ise derecelerin farkıdır.

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.

Denklemleri taraf tarafa topladığımızda:

(3p + q) + (2p - q) = 17 + 8 \Rightarrow 5p = 25 \Rightarrow p = 5

bulunur. Birinci denklemde yerine yazarak:

3(5) + q = 17 \Rightarrow 15 + q = 17 \Rightarrow q = 2

bulunur.

P(x)

Q(x)

polinomlarının derecelerini ayrı ayrı bulmak için denklem sistemini çözmemiz gerekir.

Bileşke polinomun derecesini hesaplama.

\text{der}[P(Q(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[Q(x)] = p \cdot q = 5 \cdot 2 = 10

olarak bulunur.

Bileşke polinomun derecesi, bileşeni olan polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.

Polinomlarda derece işlemleri kuralları: Çarpım, bölüm, kuvvet ve bileşke işlemlerinin derecelere etkisi.