Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri
P(x)=x24k+2xk−3+5P(x) = x^{\frac{24}{k}} + 2x^{k-3} + 5
Q(x)=3x10−k−xk2+1Q(x) = 3x^{10-k} - x^{\frac{k}{2}} + 1

ifadeleri birer polinomdur. Bu koşulları sağlayan en büyük kk tam sayısı için P(x)P(x) polinomunun derecesi aa, en küçük kk tam sayısı için Q(x)Q(x) polinomunun derecesi bb olarak belirleniyor.

Buna göre, derecesi aa olan bir R(x)R(x) polinomu ve derecesi bb olan bir S(x)S(x) polinomu için
der[R(x2⋅S(x))]\text{der}[R(x^2 \cdot S(x))]

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    16
  2. B
    30
  3. 40Answer
  4. D
    45
  5. E
    24

Answer

40 değeri doğru cevaptır.
Polinom tanımından yola çıkarak kk değişkeninin alabileceği değerler kümesi {4,6,8}\{4, 6, 8\} olarak bulunur. En büyük k=8k = 8 için P(x)P(x) derecesi a=5a = 5, en küçük k=4k = 4 için Q(x)Q(x) derecesi b=6b = 6 olur. Derece kuralları uygulandığında R(x2⋅S(x))R(x^2 \cdot S(x)) polinomunun derecesi 5⋅(2+6)=405 \cdot (2 + 6) = 40 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
P(x)P(x) ifadesinin polinom belirtmesi için gerekli kk koşullarını belirlemek.
kk sayısı 24'ün pozitif böleni olmalıdır ve k−3≥0  ⟹  k≥3k - 3 \geq 0 \implies k \geq 3 olmalıdır. Dolayısıyla k∈{3,4,6,8,12,24}k \in \{3, 4, 6, 8, 12, 24\} olur.
Polinomlarda terimlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır.
2
Q(x)Q(x) ifadesinin polinom belirtmesi için gerekli kk koşullarını belirlemek ve ortak küme oluşturmak.
10−k≥0  ⟹  k≤1010 - k \geq 0 \implies k \leq 10 ve k/2∈Nk/2 \in \mathbb{N} olmalıdır (yani kk çift olmalıdır). P(x)P(x)'ten gelen küme ile kesiştirildiğinde ortak kk değerleri {4,6,8}\{4, 6, 8\} bulunur.
Polinom olma şartı her iki ifade için de aynı anda sağlanmalıdır.
3
aa ve bb değerlerini hesaplamak.
En büyük k=8k = 8 için P(x)=x3+2x5+5  ⟹  der[P(x)]=a=5P(x) = x^3 + 2x^5 + 5 \implies \text{der}[P(x)] = a = 5 olur. En küçük k=4k = 4 için Q(x)=3x6−x2+1  ⟹  der[Q(x)]=b=6Q(x) = 3x^6 - x^2 + 1 \implies \text{der}[Q(x)] = b = 6 olur.
Polinom derecesi, en büyük üsse sahip terimin üssüdür.
4
der[R(x2⋅S(x))]\text{der}[R(x^2 \cdot S(x))] değerini bulmak.
der[S(x)]=6\text{der}[S(x)] = 6 olduğundan der[x2⋅S(x)]=2+6=8\text{der}[x^2 \cdot S(x)] = 2 + 6 = 8 olur. der[R(x)]=5\text{der}[R(x)] = 5 olduğundan der[R(x2⋅S(x))]=5⋅8=40\text{der}[R(x^2 \cdot S(x))] = 5 \cdot 8 = 40 elde edilir.
Bileşke polinomun derecesi, dıştaki polinomun derecesi ile içteki ifadenin derecesinin çarpımına eşittir.

Key Concept

Polinom tanımı, polinom derecesi ve derece işlem özellikleri.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri

More questions from this topic