Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

xx, yy ve zz gerçel sayıları için

x+y+z=3x + y + z = 3
x2+y2+z2=7x^2 + y^2 + z^2 = 7
x3+y3+z3=15x^3 + y^3 + z^3 = 15

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x4+y4+z4x^4 + y^4 + z^4 ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    11
  2. 35Answer
  3. C
    41
  4. D
    49
  5. E
    59

Answer

Doğru yanıt 35 olan seçenektir.
Verilen üç terimli ifadelerin kareleri ve küp toplamları ile ilgili temel özdeşlikler sırasıyla uygulanır. İlk olarak, x+y+z=3x+y+z = 3 ve x2+y2+z2=7x^2+y^2+z^2 = 7 eşitliklerinden yararlanarak (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılımı yazılır ve buradan ikişerli çarpımların toplamı xy+yz+zx=1xy+yz+zx = 1 olarak elde edilir. İkinci adımda, x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) özdeşliği kullanılarak üçlü çarpım xyz=−1xyz = -1 olarak bulunur. Üçüncü adımda, ikişerli çarpımların karesi olan (xy+yz+zx)2(xy+yz+zx)^2 ifadesinin açılımından x2y2+y2z2+z2x2=7x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 7 sonucuna ulaşılır. Son adımda ise kareler toplamının karesi alınarak (x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2(x2y2+y2z2+z2x2)(x^2+y^2+z^2)^2 = x^4+y^4+z^4 + 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) eşitliği kurulur ve buradan x4+y4+z4=35x^4+y^4+z^4 = 35 olarak doğru yanıt elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
(x+y+z)2(x+y+z)^2 açılımı kullanılarak xy+yz+zxxy+yz+zx ifadesinin değerini bulmak.
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)
32=7+2(xy+yz+zx)3^2 = 7 + 2(xy+yz+zx)
9=7+2(xy+yz+zx)  ⟹  xy+yz+zx=19 = 7 + 2(xy+yz+zx) \implies xy+yz+zx = 1
Daha sonraki adımlarda kullanılacak olan ikişerli çarpımların toplamını elde etmek için tam kare özdeşliğinden yararlanılır.
2
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) özdeşliği kullanılarak xyzxyz çarpımını bulmak.
15−3xyz=3⋅(7−1)15 - 3xyz = 3 \cdot (7 - 1)
15−3xyz=3⋅6=1815 - 3xyz = 3 \cdot 6 = 18
−3xyz=3  ⟹  xyz=−1-3xyz = 3 \implies xyz = -1
Dördüncü kuvvetlerin toplamına ulaşmak için x2y2+y2z2+z2x2x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 ifadesine ihtiyaç vardır, bu ifadenin açılımında ise xyzxyz çarpımı yer alır.
3
(xy+yz+zx)2(xy+yz+zx)^2 açılımı kullanılarak x2y2+y2z2+z2x2x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 ifadesinin değerini bulmak.
(xy+yz+zx)2=x2y2+y2z2+z2x2+2xyz(x+y+z)(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)
12=x2y2+y2z2+z2x2+2⋅(−1)⋅31^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 3
1=x2y2+y2z2+z2x2−6  ⟹  x2y2+y2z2+z2x2=71 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 - 6 \implies x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 7
Dördüncü kuvvetlerin toplamını bulmak için gerekli olan kareler toplamının ikişerli çarpımlarını elde etmek amacıyla ikişerli çarpımların karesi alınır.
4
(x2+y2+z2)2(x^2+y^2+z^2)^2 açılımını kullanarak x4+y4+z4x^4+y^4+z^4 ifadesinin değerini hesaplamak.
(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2(x2y2+y2z2+z2x2)(x^2+y^2+z^2)^2 = x^4+y^4+z^4 + 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
72=x4+y4+z4+2⋅77^2 = x^4+y^4+z^4 + 2 \cdot 7
49=x4+y4+z4+14  ⟹  x4+y4+z4=3549 = x^4+y^4+z^4 + 14 \implies x^4+y^4+z^4 = 35
İkinci dereceden terimlerin toplamının karesini alarak doğrudan istenen dördüncü kuvvetler toplamına ulaşılır.

Key Concept

Üç terimli ifadelerin karelerinin açılımı ve küp toplamı özdeşliklerinin zincirleme olarak kullanılması.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

More questions from this topic