Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri
P(x)=2xm3+x6−m−5P(x) = 2x^{\frac{m}{3}} + x^{6-m} - 5 ve Q(x)=xn−3Q(x) = x^n - 3 ifadeleri birer polinomdur.
der[P(x)⋅Q(x)]=5\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = 5

olduğuna göre, m+nm + n toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    11
  3. C
    13
  4. 14Answer
  5. E
    15

Answer

m + n toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 14'tür.
Doğru yanıt olan 14 değeri, polinom olma tanımından elde edilen geçerli m=3,n=2m=3, n=2 (m+n=5m+n=5) ve m=6,n=3m=6, n=3 (m+n=9m+n=9) durumlarının toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
P(x) ifadesinin bir polinom olması için değişkenlerin üslerinin alması gereken değer aralığını belirlemek.
mm sayısı 3'ün katı olan bir doğal sayı olmalı ve 6−m≥0⇒m≤66-m \ge 0 \Rightarrow m \le 6 koşulunu sağlamalıdır. Buradan m∈{0,3,6}m \in \{0, 3, 6\} elde edilir.
Bir ifadenin polinom belirtmesi için tüm değişkenlerin ��slerinin doğal sayı (yani 0 veya pozitif tam sayı) olması gerekir.
2
Bulunan her bir m değeri için P(x) polinomunun derecesini belirlemek.
m = 0 için P(x)=2x0+x6−5=x6−3P(x) = 2x^0 + x^6 - 5 = x^6 - 3 olup der[P(x)] = 6; m = 3 için P(x)=2x1+x3−5=x3+2x−5P(x) = 2x^1 + x^3 - 5 = x^3 + 2x - 5 olup der[P(x)] = 3; m = 6 için P(x)=2x2+x0−5=2x2−4P(x) = 2x^2 + x^0 - 5 = 2x^2 - 4 olup der[P(x)] = 2 olur.
Bir polinomun derecesi, polinomdaki en büyük üslü terimin üssüdür.
3
der[P(x) * Q(x)] = 5 eşitliğini kullanarak her durum için n derecesini test etmek.
m = 0 için 6+n=5⇒n=−16+n=5 \Rightarrow n=-1 (geçersiz); m = 3 için 3+n=5⇒n=23+n=5 \Rightarrow n=2 (geçerli); m = 6 için 2+n=5⇒n=32+n=5 \Rightarrow n=3 (geçerli) elde edilir.
İki polinomun çarpımının derecesi, bu polinomların derecelerinin toplamına eşittir. Ayrıca Q(x) bir polinom olduğundan n derecesi bir doğal sayı olmalıdır.
4
Geçerli durumlardan elde edilen m + n değerlerini bulup toplamak.
İlk geçerli durumdan m+n=3+2=5m+n = 3+2=5, ikinci geçerli durumdan m+n=6+3=9m+n = 6+3=9 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 5+9=145+9=14 bulunur.
Soruda bizden m + n toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Polinom tanımı ve çarpım polinomunun derecesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri

More questions from this topic