Bir ABCD yamuğunda [AB] \parallel [CD]'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası E'dir. E … — ALES

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası $E$ 'dir. $E$ noktasından tabanlara paralel olarak çizilen $[KL]$ doğru parçası, köşegenlerin kesim noktasından geçmekte ve uç noktaları yan kenarlar üzerinde bulunmaktadır ( $K \in [AD]$ ve $L \in [BC]$ ).

$|AB| = 12\text{ cm}$ ve $|CD| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|KL|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

A
3
B
4
6Cevap
D
8
E
9

Cevap

Köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen ve uçları yan kenarlar üzerinde olan

[KL]

segmentinin uzunluğu 6 cm'dir.

Doğru cevap 6 cm'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası olan E noktasından tabanlara paralel çizilen [KL] segmentinin uzunluğu, kelebek benzerliği ve temel orantı teoremi yardımıyla

|KE| = 3\text{ cm}

|EL| = 3\text{ cm}

bulunarak toplamda 6 cm olarak hesaplanır. Alternatif olarak, köşegenlerin kesim noktasından geçen paralelin uzunluğu

|KL| = \frac{2ab}{a+b}

formülüyle de hesaplanabilir:

|KL| = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{12 + 4} = 6\text{ cm}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Kelebek benzerliğini kullanarak köşegenlerin kesim noktasındaki oranları bulun.

[AB] \parallel [CD]

olduğundan

\triangle DEC \sim \triangle BEA

(kelebek benzerliği) elde edilir. Benzerlik oranı:

\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

'tür. Buradan

\frac{|DE|}{|EB|} = \frac{1}{3}

\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{1}{3}

bulunur.

Köşegenlerin birbirini hangi oranda böldüğünü belirlemek, yan kenarlara kadar uzanan paralel parçaların uzunluklarını bulmak için gereklidir.

K

E

noktaları arasındaki uzunluğu (

|KE|

) bulmak için üçgende benzerlik uygulayın.

\triangle DAB

üçgeninde

[KE] \parallel [AB]

olduğundan,

\frac{|DE|}{|DB|} = \frac{|KE|}{|AB|}

yazılır.

\frac{|DE|}{|DB|} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}

olduğundan,

\frac{1}{4} = \frac{|KE|}{12} \implies |KE| = 3\text{ cm}

elde edilir.

[KL]

doğru parçasının sol kısmının uzunluğunu hesaplamak amacıyla temel orantı teoremi kullanılır.

E

L

noktaları arasındaki uzunluğu (

|EL|

) bulup toplam

|KL|

uzunluğunu hesaplayın.

Benzer şekilde,

\triangle CAB

üçgeninde

[EL] \parallel [AB]

olduğundan,

\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|EL|}{|AB|}

olur.

\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{1}{4}

olduğundan,

\frac{1}{4} = \frac{|EL|}{12} \implies |EL| = 3\text{ cm}

bulunur. Böylece,

|KL| = |KE| + |EL| = 3 + 3 = 6\text{ cm}

olarak hesaplanır.

[KL]

doğru parçasının tamamının uzunluğunu elde etmek için iki parçanın uzunluğu toplanır.

Anahtar Kavram

Yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen doğrunun uzunluğu, benzerlik oranları kullanılarak bulunur.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular