Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkizkenar Üçgen

Dar açılı bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. BB köşesinden ACAC kenarına çizilen dikme ile CC köşesinden ABAB kenarına çizilen dikme KK noktasında kesişmektedir. KK noktasının ABAB kenarına olan en kısa uzaklığı 3 cm3\text{ cm} ve ∣BC∣=45 cm|BC| = 4\sqrt{5}\text{ cm} olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevresi kaç cm\text{cm}'dir?

  1. 20+4520 + 4\sqrt{5}Cevap
  2. B
    4+454 + 4\sqrt{5}
  3. C
    30+4530 + 4\sqrt{5}
  4. D
    410+454\sqrt{10} + 4\sqrt{5}
  5. E
    32+4532 + 4\sqrt{5}

Cevap

20+45 cm20 + 4\sqrt{5}\text{ cm} olan çevre uzunluğu
ABCABC ikizkenar üçgeninin simetrik yapısı sayesinde diklik merkezi olan noktanın köşelere olan uzaklıkları eşit olup 5 cm bulunur. Buradan dik üçgenlerdeki Pisagor bağıntıları sırasıyla uygulanarak eşit kenar uzunlukları 10 cm elde edilir. Çevre bu iki eşit kenar ile 4\sqrt{5} cm tabanının toplamıyla 20 + 4\sqrt{5} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
KK noktasının ABAB doğrusuna olan en kısa uzaklığı belirlenir.
∣KE∣=3 cm|KE| = 3\text{ cm}
CC köşesinden ABAB'ye çizilen dikme CECE olduğundan ve KK bu dikme üzerinde bulunduğundan, KK'nin ABAB'ye en kısa uzaklığı ∣KE∣|KE| uzunluğuna eşittir.
2
ABCABC ikizkenar üçgeninde diklik merkezinin simetri özelliği kullanılır.
∣KB∣=∣KC∣=x|KB| = |KC| = x
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ikizkenarlık durumunda, köşelerden çizilen yüksekliklerin kesişim noktası olan diklik merkezinin köşelere olan uzaklıkları simetriktir.
3
KBEKBE dik üçgeninde Pisagor bağınt��sı uygulanır.
∣BE∣2=x2−9|BE|^2 = x^2 - 9
m(KEB^)=90∘m(\widehat{KEB}) = 90^\circ olduğundan ∣BE∣2+∣KE∣2=∣KB∣2|BE|^2 + |KE|^2 = |KB|^2 eşitliği sağlanır.
4
BECBEC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kurularak xx değeri çözülür.
x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0 denklemi elde edilerek x=5 cmx = 5\text{ cm} bulunur.
∣CE∣=x+3|CE| = x + 3 ve ∣BC∣=45 cm|BC| = 4\sqrt{5}\text{ cm} değerleri ile ∣BE∣2+∣CE∣2=∣BC∣2|BE|^2 + |CE|^2 = |BC|^2 Pisagor bağıntısı çözülür.
5
∣BE∣|BE| ve ∣CE∣|CE| uzunlukları hesaplanır.
∣BE∣=4 cm|BE| = 4\text{ cm} ve ∣CE∣=8 cm|CE| = 8\text{ cm}
x=5x = 5 değeri yerine yazılarak ∣BE∣=52−9=4|BE| = \sqrt{5^2 - 9} = 4 ve ∣CE∣=5+3=8|CE| = 5 + 3 = 8 olarak bulunur.
6
AECAEC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak ∣AB∣|AB| kenar uzunluğu aranır.
∣AB∣=∣AC∣=10 cm|AB| = |AC| = 10\text{ cm}
∣AE∣=y|AE| = y ve ∣AC∣=y+4|AC| = y + 4 için y2+82=(y+4)2y^2 + 8^2 = (y+4)^2 denklemi çözülerek y=6y = 6 ve buradan ∣AB∣=10|AB| = 10 bulunur.
7
ABCABC üçgeninin çevre uzunluğu toplanır.
20+45 cm20 + 4\sqrt{5}\text{ cm}
Çevre =∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=10+10+45= |AB| + |AC| + |BC| = 10 + 10 + 4\sqrt{5} toplamıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende simetrik yükseklik özellikleri ve diklik merkezinin kenarlara olan uzaklık ilişkileri yardımıyla Pisagor bağıntısı uygulamaları
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru