Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma
Her xx gerçel sayısı için
3f(x)−f(2−x)=x2+2x3f(x) - f(2-x) = x^2 + 2x
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
  1. 3Cevap
  2. B
    1
  3. C
    83\frac{8}{3}
  4. D
    125\frac{12}{5}
  5. E
    52\frac{5}{2}

Cevap

3
Verilen fonksiyon denkleminde sırasıyla x=2x=2 ve x=0x=0 değerleri yerine yazıldığında, 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ve 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 denklemleri elde edilir. İkinci denklemden f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) olduğu görülür. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında 9f(0)−f(0)=8⇒8f(0)=8⇒f(0)=19f(0) - f(0) = 8 \Rightarrow 8f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1 bulunur. Buradan da f(2)=3(1)=3f(2) = 3(1) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonda x=2x = 2 yazarak f(2)f(2) ve f(0)f(0) terimlerini içeren ilk denklemi elde edin.
3f(2)−f(0)=22+2(2)=83f(2) - f(0) = 2^2 + 2(2) = 8
f(2)f(2) değerini bulmak için öncelikle bu değeri içeren bir denklem oluşturmamız gerekir.
2
İlk denklemdeki bilinmeyen f(0)f(0) değerini bulmak amacıyla, verilen fonksiyonda bu kez x=0x = 0 yazarak ikinci denklemi elde edin.
3f(0)−f(2)=02+2(0)=03f(0) - f(2) = 0^2 + 2(0) = 0
f(2)f(2) ve f(0)f(0) bilinmeyenlerine sahip iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak.
3
İkinci denklemden f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) eşitliğini bulun ve bu eşitliği ilk denklemde yerine yazarak f(0)f(0) değerini hesaplayın.
3(3f(0))−f(0)=8⇒9f(0)−f(0)=8⇒8f(0)=8⇒f(0)=13(3f(0)) - f(0) = 8 \Rightarrow 9f(0) - f(0) = 8 \Rightarrow 8f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1
Denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek bilinmeyen değerlerden birini belirlemek.
4
Bulunan f(0)=1f(0) = 1 değerini f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) eşitliğinde yerine yazarak f(2)f(2) değerine ulaşın.
f(2)=3(1)=3f(2) = 3(1) = 3
Soruda bizden istenen nihai fonksiyon değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyon denkleminde uygun değerler yerine yazılıp elde edilen denklemlerin ortak çözülmesiyle bilinmeyen fonksiyon değerinin bulunması.

İpuçları

1
Soruda istenen f(2)f(2) değerini elde etmek için öncelikle verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak bir denklem kurun.
2
x=2x=2 yazdığınızda ortaya çıkan f(0)f(0) bilinmeyenini bulabilmek için bu kez eşitlikte xx yerine 00 yazıp yeni bir denklem daha elde edin.
3
Elde ettiğiniz 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ve 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 denklemlerini iki bilinmeyenli denklem sistemi olarak ortak çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle çözülen, içinde f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x) veya f(−x)f(-x) barındıran fonksiyonel denklem sorularını çözerek bu pratik yaklaşımı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İkinci denklem olan 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 eşitliğini 33 ile çarparak 9f(0)−3f(2)=09f(0) - 3f(2) = 0 elde edebiliriz. Bu denklemi ilk denklem olan 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ile taraf tarafa topladığımızda, 3f(2)3f(2) terimleri birbirini götürür ve doğrudan 8f(0)=8⇒f(0)=18f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1 sonucuna ulaşabiliriz. Ardından f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) bağıntısından f(2)=3f(2) = 3 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru