Examkin

Çemberde Teğet Özellikleri

3 soru

Soru 1Soru →

Bir OO merkezli ve R=2+sim cmR = 2 + \text{sim}\text{ cm} değil, R=2+2 cmR = 2 + \sqrt{2}\text{ cm} yarıçaplı çeyrek çemberin içine; çember yayına ve birbirine dik olan OAOA ile OBOB yarıçap doğrularına teğet olacak şekilde MM merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Bu küçük çembere, OO noktasına en yakın olan TT noktasından çizilen teğet doğrusu, OAOA yarıçapını PP noktasında ve OBOB yarı��apını QQ noktasında kesmektedir.

Buna göre, PQPQ doğru parçasının uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4−224 - 2\sqrt{2}

Cevap

Dört eksi iki kök iki
Çemberlerin teğetlik bağıntısından küçük çemberin yarıçapı r=2 cmr = \sqrt{2}\text{ cm} olarak bulunur. OO noktasına en yakın teğet noktası TT için OT=OM−r=2−2 cmOT = OM - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}'dir. TT noktasından çizilen teğet doğrusu OMOM doğrusuna dik olduğundan, eksenlerle oluşturduğu OPQOPQ üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgende OTOT yüksekliği hipotenüsün yarısına eşit olduğundan PQ=2⋅OT=4−22 cmPQ = 2 \cdot OT = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük çemberin yarıçapını (rr) belirlemek için çeyrek çemberin merkezi ile küçük çemberin merkezini birleştiren doğruyu çiziniz.
MM merkezli küçük çember, dik OAOA ve OBOB doğrularına teğet olduğundan merkez koordinatları (r,r)(r, r) olur ve OM=r2OM = r\sqrt{2} olarak bulunur.
Eksenlere teğet olan çemberin merkezinin eksenlere olan dik uzaklıkları yarıçapa eşittir ve orijine uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.
2
Küçük çemberin büyük çeyrek çemberin yayına teğet olduğu noktayı HH olarak belirleyip rr değerini hesaplayınız.
OM+MH=R⇒r2+r=2+2⇒r(2+1)=2(2+1)⇒r=2 cmOM + MH = R \Rightarrow r\sqrt{2} + r = 2 + \sqrt{2} \Rightarrow r(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) \Rightarrow r = \sqrt{2}\text{ cm} bulunur.
Teğet olan çemberlerin merkezleri ve değme noktası doğrusaldır; bu doğrusal hattın toplam uzunluğu büyük çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.
3
OO noktasına en yakın teğet noktası olan TT'nin OO'ya uzaklığını bulunuz.
OT=OM−r=r2−r=2−2 cmOT = OM - r = r\sqrt{2} - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}'dir.
TT noktası OMOM doğrusu üzerinde ve çemberin OO noktasına bakan tarafındaki sınırında yer alır.
4
TT noktasındaki teğetin oluşturduğu OPQOPQ dik üçgeninde PQPQ uzunluğunu hesaplayınız.
OPQOPQ üçgeni teğet dikliğinden dolayı OO köşesinde dik açısı olan bir ikizkenar dik üçgendir. OTOT bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği olup PQ=2⋅OT=2(2−2)=4−22 cmPQ = 2 \cdot OT = 2(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}'dir.
45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ üçgeninin simetri özelliğinden dolayı muhteşem üçlü kuralı geçerlidir ve yükseklik hipotenüsün yarısıdır.

Anahtar Kavram

İki çemberin birbirine teğet olması durumunda merkezlerinin doğrusal olması ve teğet doğrularının değme noktasında yarıçapa dik olması özellikleri.

İpuçları

1
Küçük çemberin merkezini MM olarak belirleyip eksenlere olan dik uzaklıklarının rr olduğunu ve büyük çeyrek çemberin yarıçapının R=2+2R = 2 + \sqrt{2} olduğunu kullanın.
2
OO, MM ve büyük çember üzerindeki teğet noktasının doğrusal olduğunu göz önünde bulundurarak OM+r=ROM + r = R eşitliğinden rr değerini hesaplayın.
3
TT noktasındaki teğet doğrusu OMOM doğrusuna diktir. OPQOPQ üçgeninin tepe açısı 90∘90^\circ olan bir ikizkenar dik üçgen olduğunu fark edin ve muhteşem üçlüyü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, küçük çemberin çeyrek çemberin dış teğet çemberi olması durumundaki yarıçap oranlarını ve teğet özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Analitik geometri kullanarak çözebilirsiniz: OO noktasını orijin (0,0)(0,0) kabul edip OAOA ve OBOB doğrularını sırasıyla xx ve yy eksenleri olarak tanımlayın. Küçük çemberin merkezi M(r,r)M(r,r) olur. x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2 çeyrek çemberi ile (x−r)2+(y−r)2=r2(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2 çemberinin teğetlik şartından rr'yi bulun. Ardından TT noktasının koordinatlarını bulup bu noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazarak eksenleri kestiği noktaların uzaklığını hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Bir OO merkezli çemberin yarıçap�� 9 cm9\text{ cm}'dir. Çemberin dışındaki bir PP noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, çembere TT noktasında değmektedir. PP noktasının çembere en yakın uzaklığı 6 cm6\text{ cm} olduğuna göre, teğet parçasının uzunluğu (∣PT∣|PT|) kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Teğet parçasının uzunluğu 12 cm'dir.
12 cm değerini içeren seçenek doğrudur. Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap teğet doğrusuna dik olduğundan, OTP dik üçgeni elde edilir. Bu üçgende hipotenüs uzunluğu merkezden dıştaki noktaya olan uzaklık olan 15 cm, dik kenarlardan biri ise yarıçap uzunluğu olan 9 cm'dir. Pisagor teoremiyle diğer dik kenar olan teğet parçasının uzunluğu 12 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Merkezden teğet noktasına yarıçapı çizmek ve uzunluğunu belirlemek.
∣OT∣=r=9 cm|OT| = r = 9\text{ cm}
Çemberin merkezi ile teğet değme noktası arasındaki uzaklık yarıçapa eşittir.
2
Merkezden dıştaki P noktasına olan uzaklığı belirlemek.
∣OP∣=9+6=15 cm|OP| = 9 + 6 = 15\text{ cm}
P noktasının çembere en yakın uzaklığı 6 cm olduğuna göre, bu uzaklığa yarıçap uzunluğu eklenerek merkezden P noktasına olan toplam uzaklık bulunur.
3
Teğet noktasındaki dikliği kullanarak dik üçgeni belirlemek.
[OT]⊥[PT][OT] \perp [PT] olduğundan OTPOTP bir dik üçgendir.
Çemberin teğet doğrusuna teğet noktasında çizilen yarıçap teğet doğrusuna diktir.
4
OTP dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |PT| uzunluğunu hesaplamak.
∣OP∣2=∣OT∣2+∣PT∣2  ⟹  152=92+∣PT∣2  ⟹  225=81+∣PT∣2  ⟹  ∣PT∣2=144  ⟹  ∣PT∣=12 cm|OP|^2 = |OT|^2 + |PT|^2 \implies 15^2 = 9^2 + |PT|^2 \implies 225 = 81 + |PT|^2 \implies |PT|^2 = 144 \implies |PT| = 12\text{ cm}
Dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir çemberde teğet değme noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir. Bu diklik yardımıyla oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı kullanılarak teğet veya merkez uzaklığı hesaplanabilir.

İpuçları

1
Çemberin merkezi O ile teğet değme noktası T'yi birleştiren yarıçapı çizin ve teğete dik olduğunu gösterin.
2
Merkezden P noktasına çizilen çizginin çemberi kestiği noktaya K derseniz, |OK| = 9 cm (yarıçap) ve |KP| = 6 cm olur. Buradan |OP| uzunluğunu bulun.
3
Oluşan OTP dik üçgeninde hipotenüs 15 cm, bir dik kenar ise 9 cm'dir. Diğer dik kenar olan |PT|'yi bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.
Tahmini Süre:50s
Soru 3Soru →

Bir dik açının kenarlarına teğet olan 12 cm12\text{ cm} yarıçaplı bir çember verilmiştir. Bu çemberin açının kenarları arasında kalan yayının üzerindeki bir TT noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, açının kenarlarını AA ve BB noktalarında kesmektedir.

Buna göre, köşesi açının başlangıç noktası olan OABOAB üçgeninin çevresi kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dik açının kollarına teğet olan çemberin teğet özelliklerinden faydalanıldığında, oluşan dik üçgenin çevresi çemberin yarıçapının iki katına eşittir. Bu nedenle çevre uzunluğu 24 cm'dir.
Doğru cevap 24 cm'dir. Çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması kuralına göre, üçgenin kenarları arasındaki bağıntılar yazılıp toplandığında bilinmeyen teğet parçaları birbirini götürür. Geriye kalan sabit terimlerin toplamı, çemberin yarıçapının iki katı olan 24 cm değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktalarını belirleme
Çemberin dik açının kollarına teğet olduğu noktalar KK ve LL olsun. Başlangıç noktası OO olmak üzere, te��et kolları birbirine eşit olduğundan ∣OK∣=∣OL∣=r=12 cm|OK| = |OL| = r = 12\text{ cm} olur.
Çemberin merkezinden teğet noktalarına çizilen yarıçaplar diktir ve kollarda oluşan dörtgen bir karedir.
2
Dış noktadan çizilen teğetlerin eşitliği özelliğini kullanma
AA noktasından çembere çizilen teğetler için ∣AK∣=∣AT∣|AK| = |AT| ve BB noktasından çizilen teğetler için ∣BL∣=∣BT∣|BL| = |BT| eşitlikleri elde edilir.
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçaların��n uzunlukları birbirine eşittir.
3
OABOAB üçgeninin kenar uzunluklarını ifade etme
∣OA∣=∣OK∣−∣AK∣=12−∣AT∣|OA| = |OK| - |AK| = 12 - |AT| ve ∣OB∣=∣OL∣−∣BL∣=12−∣BT∣|OB| = |OL| - |BL| = 12 - |BT| yazılır. Üçgenin hipotenüsü ise ∣AB∣=∣AT∣+∣BT∣|AB| = |AT| + |BT|'dir.
Üçgenin dik kenarları, teğet uzunluklarının tamamından dışarıda kalan teğet parçalarının çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Çevre uzunluğunu hesaplama
Çevre (OAB)=∣OA∣+∣OB∣+∣AB∣=(12−∣AT∣)+(12−∣BT∣)+(∣AT∣+∣BT∣)=24 cm(OAB) = |OA| + |OB| + |AB| = (12 - |AT|) + (12 - |BT|) + (|AT| + |BT|) = 24\text{ cm} bulunur.
Kenar uzunlukları toplandığında ∣AT∣|AT| ve ∣BT∣|BT| terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece teğet uzunluklarının toplamı kalır.

Anahtar Kavram

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması özelliği.

İpuçları

1
Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayınız.
2
Açının kolları üzerindeki teğet noktalarına KK ve LL diyerek ∣AK∣=∣AT∣|AK| = |AT| ve ∣BL∣=∣BT∣|BL| = |BT| eşitliklerini yazınız.
3
∣OA∣=12−∣AT∣|OA| = 12 - |AT| ve ∣OB∣=12−∣BT∣|OB| = 12 - |BT| yazıp bu ifadeleri üçgenin çevre formülünde yerlerine yerleştirerek sadeleştirme yapınız.

Daha Fazla Pratik

Aynı çemberde dik açı yerine 60 derecelik bir açı kullanılsaydı çevre ve teğet uzunlukları nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

T noktasını çember üzerinde hareket ettirdiğimizi düşünebiliriz. Limit durumunda T noktası K veya L noktasına yaklaştıkça dik üçgenin bir köşesi teğet noktasına doğru kayar. T noktası K noktası üzerine geldiğinde A noktası K ile çakışır ve ∣OA∣=12|OA| = 12, ∣OB∣=12|OB| = 12, ∣AB∣=0|AB| = 0 olur. Bu uç durumda da çevre toplamı 12+12+0=24 cm12 + 12 + 0 = 24\text{ cm} olarak korunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Çemberde Teğet Özellikleri Alıştırma Soruları — ALES | Examkin