Examkin

Çemberde Uzunluk ve Benzerlik

1 soru

Soru 1Soru →

Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. AA açısının açıortayı, [BC][BC] kenarını DD noktasında, çevrel çemberi ise EE noktasında kesmektedir.

∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm}, ∣AC∣=8 cm|AC| = 8\text{ cm} ve ∣AD∣=4 cm|AD| = 4\text{ cm} olduğuna göre, ∣DE∣|DE| uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İstenen uzunluk 8 santimetredir.
Çemberde aynı yayı gören çevre açıların eşitliği ilkesine dayanarak △ABD\triangle ABD ile △AEC\triangle AEC üçgenlerinin benzer olduğu görülür. Benzerlik oranından ∣AE∣=12 cm|AE| = 12\text{ cm} olarak hesaplanır. [AE][AE] uzunluğundan [AD][AD] uzunluğu çıkarıldığında ∣DE∣=8 cm|DE| = 8\text{ cm} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çevre açıların eşitliğini belirleme
m(∠ABD)=m(∠AEC)m(\angle ABD) = m(\angle AEC)
Aynı yayı (ACAC yayını) gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.
2
Açıortay özelliğini yazma
m(∠BAD)=m(∠EAC)m(\angle BAD) = m(\angle EAC)
[AE][AE] doğrusu AA açısının açıortayı olduğu için açıyı iki eş parçaya böler.
3
Üçgenler arasındaki benzerliği kurma
△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC (Açı-Açı benzerliği)
İkişer açıları eşit olan üçgenler benzerdir.
4
Benzerlik oranını yazarak ∣AE∣|AE| uzunluğunu bulma
∣AE∣=12 cm|AE| = 12\text{ cm}
Benzerlikten ∣AB∣∣AE∣=∣AD∣∣AC∣\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|} yazılır. Buradan 6∣AE∣=48  ⟹  4⋅∣AE∣=48  ⟹  ∣AE∣=12 cm\frac{6}{|AE|} = \frac{4}{8} \implies 4 \cdot |AE| = 48 \implies |AE| = 12\text{ cm} elde edilir.
5
∣DE∣|DE| uzunluğunu hesaplama
∣DE∣=8 cm|DE| = 8\text{ cm}
AA, DD ve EE noktaları doğrusal olduğundan ∣AE∣=∣AD∣+∣DE∣|AE| = |AD| + |DE| yazılır. 12=4+∣DE∣  ⟹  ∣DE∣=8 cm12 = 4 + |DE| \implies |DE| = 8\text{ cm} bulunur.

Anahtar Kavram

Çemberde benzerlik bağıntıları kurulurken aynı yayı gören çevre açıların eşitliği kullanılarak benzer üçgenler elde edilir.

İpuçları

1
Aynı yayı gören çevre açıların ölçülerinin eşit olduğunu hatırlayın.
2
△ABD\triangle ABD ve △AEC\triangle AEC üçgenlerinin açılarını karşılaştırarak benzer olup olmadıklarını kontrol edin.
3
Benzerlikten ∣AB∣∣AE∣=∣AD∣∣AC∣\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|} eşitliğini kullanarak önce ∣AE∣|AE| uzunluğunu bulun.
Tahmini Süre:1m 30s
Çemberde Uzunluk ve Benzerlik Alıştırma Soruları — ALES | Examkin