Examkin

Eşkenar Üçgen

1 soru

Soru 1Soru →

Bir ABCABC eşkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor.

Bu üçgenin bir kenar uzunluğu 8 cm8\text{ cm} ve AD=7 cmAD = 7\text{ cm} olduğuna göre, BDBD ve CDCD do��ru parçalarının uzunluklarının çarpımı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Eşkenar üçgende yükseklik çizilerek veya Stewart teoremi kullanılarak yapılan hesaplamalar sonucunda BDBD ve CDCD uzunluklarının çarpımı 1515 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 1515 seçeneği, eşkenar üçgende AA köşesinden indirilen yüksekliğin tabanı iki eşit parçaya (4 cm4\text{ cm} ve 4 cm4\text{ cm}) bölmesi ve yükseklik uzunluğunun 43 cm4\sqrt{3}\text{ cm} bulunması esasına dayanır. Ardından ADHADH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak DD noktasının yüksekliğin ayağına olan mesafesi 1 cm1\text{ cm} bulunur. Buradan tabanda ayrılan parçalar 3 cm3\text{ cm} ve 5 cm5\text{ cm} olarak elde edilir, çarpımları ise 1515 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC eşkenar üçgeninde AA köşesinden [BC][BC] kenarına AHAH yüksekliği indirilir.
BH=HC=4 cmBH = HC = 4\text{ cm} olur.
Eşkenar üçgende indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
2
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ özel dik üçgeni özellikleri kullanılarak AHAH yüksekliğinin uzunluğu hesaplanır.
AH=43 cmAH = 4\sqrt{3}\text{ cm} bulunur.
60∘60^\circ lik açının karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
ADHADH dik ü��geninde Pisagor bağıntısı uygulanır.
AD2=AH2+DH2⇒72=(43)2+DH2⇒49=48+DH2⇒DH2=1⇒DH=1 cmAD^2 = AH^2 + DH^2 \Rightarrow 7^2 = (4\sqrt{3})^2 + DH^2 \Rightarrow 49 = 48 + DH^2 \Rightarrow DH^2 = 1 \Rightarrow DH = 1\text{ cm} bulunur.
Dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
4
BDBD ve CDCD doğru parçalarının uzunlukları hesaplanır.
BD=BH−DH=4−1=3 cmBD = BH - DH = 4 - 1 = 3\text{ cm} ve CD=CH+DH=4+1=5 cmCD = CH + DH = 4 + 1 = 5\text{ cm} (veya tam tersi) elde edilir.
DD noktasının [BC][BC] üzerindeki konumuna göre parçaların uzunlukları belirlenir.
5
Elde edilen uzunluklar çarpılır.
BD⋅CD=3⋅5=15 cm2BD \cdot CD = 3 \cdot 5 = 15\text{ cm}^2 bulunur.
Soruda bizden istenen çarpım değerine ulaşmak içindir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgende yükseklik çizerek dik üçgen elde etme ve Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar parçalarını bulma.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin AA köşesinden tabana bir yükseklik indirmeyi deneyin. Bu yükseklik tabanı iki eşit parçaya bölecektir.
2
İndirdiğiniz yüksekliğin uzunluğunu 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni özelliklerinden bulun ve yüksekliğin tabana değdiği nokta olan HH ile DD arasındaki mesafeyi bulmak için oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.
3
AD2=AH2+DH2AD^2 = AH^2 + DH^2 bağıntısından DHDH uzunluğunu bulun. Buradan BDBD ve CDCD uzunluklarını ayrı ayrı hesaplayıp çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantık kullanarak, eşkenar üçgenin dış bölgesinde alınan bir noktanın köşelere olan uzaklık ilişkilerini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşkenar üçgenlerde Stewart Teoremi doğrudan uygulanabilir. Bir kenarı aa olan eşkenar üçgende taban üzerindeki bir noktanın köşeye uzaklığı dd, tabanda ayırdığı parçalar xx ve yy ise, Stewart teoremine göre d2=a2−x⋅yd^2 = a^2 - x \cdot y bağıntısı geçerlidir. Buradan 72=82−BD⋅CD⇒49=64−BD⋅CD⇒BD⋅CD=157^2 = 8^2 - BD \cdot CD \Rightarrow 49 = 64 - BD \cdot CD \Rightarrow BD \cdot CD = 15 pratik bir şekilde hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Eşkenar Üçgen Alıştırma Soruları — ALES | Examkin