Examkin

Üçgende Kenarortay ve Ağırlık Merkezi

1 soru

Soru 1Soru →

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC]'dir. GG noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

∣AB∣=12 cm|AB| = 12\text{ cm} ve ∣AC∣=16 cm|AC| = 16\text{ cm} olduğuna göre, GG noktasının [BC][BC] kenarına olan en kısa uzaklığı kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,23,2

Cevap

Ağırlık merkezinin [BC][BC] kenarına olan en kısa uzaklığı 3,2 cm3,2\text{ cm}'dir.
Üçgenin alanı yardımıyla hipotenüse ait yükseklik 9,6 cm9,6\text{ cm} olarak hesaplanır. Ağırlık merkezi, köşeden kenara doğru kenarortayı 2:12:1 oranında böldüğü için bu noktanın [BC][BC] kenarına olan dik uzaklığı da yüksekliğin üçte birine eşit olur. Buradan 9,6/3=3,2 cm9,6 / 3 = 3,2\text{ cm} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak hipotenüs uzunluğu bulunur.
∣BC∣2=∣AB∣2+∣AC∣2  ⟹  ∣BC∣2=122+162=144+256=400  ⟹  ∣BC∣=20 cm|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 \implies |BC|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \implies |BC| = 20\text{ cm}
Yüksekliği ve ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için öncelikle hipotenüs uzunluğuna ihtiyaç duyulmaktadır.
2
Üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanarak [BC][BC] kenarına ait yükseklik (hah_a) elde edilir.
Alan(ABC)=∣AB∣×∣AC∣2=12×162=96 cm2\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \times |AC|}{2} = \frac{12 \times 16}{2} = 96\text{ cm}^2 ve aynı zamanda Alan(ABC)=∣BC∣×ha2  ⟹  96=20×ha2  ⟹  ha=9,6 cm\text{Alan}(ABC) = \frac{|BC| \times h_a}{2} \implies 96 = \frac{20 \times h_a}{2} \implies h_a = 9,6\text{ cm}
Ağırlık merkezinin kenara olan dik uzaklığı, köşeden kenara inen yüksekliğin belirli bir oranıdır.
3
Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranı kullanılarak en kısa uzaklık hesaplanır.
Ağırlık merkezi, köşeden kenara doğru kenarortayı 2:12:1 oranında böldüğü için kenara olan uzaklık yüksekliğin üçte biridir. Buradan hG=ha3=9,63=3,2 cmh_G = \frac{h_a}{3} = \frac{9,6}{3} = 3,2\text{ cm} olarak bulunur.
Ağırlık merkezinin kenara olan en kısa uzaklığı, o kenara ait yüksekliğin üçte birine eşittir.

Anahtar Kavram

Üçgende Ağırlık Merkezi ve Yükseklik İlişkisi

Alternatif Yöntem

Ağırlık merkezinden köşelere çizilen doğrularla oluşan GBCGBC üçgeninin alanı, tüm üçgenin alanının üçte biridir. Alan(GBC)=963=32 cm2\text{Alan}(GBC) = \frac{96}{3} = 32\text{ cm}^2 bulunur. GBCGBC üçgeninde taban ∣BC∣=20 cm|BC| = 20\text{ cm} olduğundan, tabana ait yükseklik hGh_G ise 20×hG2=32  ⟹  hG=3,2 cm\frac{20 \times h_G}{2} = 32 \implies h_G = 3,2\text{ cm} elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s