Üçgende Alan ve Benzerlik

1 soru

Bir $ABC$ üçgeninde, $BC$ kenarına paralel bir $DE$ doğru parçası çiziliyor. Bu doğru parçası $[AB]$ kenarını $D$ noktasında, $[AC]$ kenarını ise $E$ noktasında kesiyor.

$BCED$ dörtgeninin alanı $ADE$ üçgeninin alanının 8 katı olduğuna göre, $\frac{|DE|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

\frac{1}{9}

\frac{1}{8}

\frac{1}{3}

\frac{\sqrt{2}}{4}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

\frac{1}{3}

DE doğrusu BC tabanına paralel olduğu için ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. ADE üçgeninin alanı S iken, tüm ABC üçgeninin alanı S + 8S = 9S olur. Alanlar oranı 1/9 olduğundan, benzerlik oranı (yani DE'nin BC'ye oranı) bu değerin karekökü olan 1/3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Büyük üçgenin (ABC) alanını, küçük üçgen (ADE) ve yamuğun (BCED) alanları toplamı cinsinden yazın.

Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(BCED) = S + 8S = 9S

DE \parallel BC

olduğundan,

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Benzerlik oranını bulmak için iki üçgenin alanlarının oranını bulmamız gerekir.

Benzer iki üçgenin alanlarının oranını bulun.

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = \frac{S}{9S} = \frac{1}{9}

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Alanlar oranının karekökünü alarak benzerlik oranını (

k

) hesaplayın.

k = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

Benzerlik oranı

k = \frac{|DE|}{|BC|}

olduğundan, bu oran

\frac{1}{3}

'e eşit olur.

Anahtar Kavram

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

İpuçları

DE'nin BC'ye paralel olması, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olduğunu gösterir.

Benzer iki üçgenin alanları oranının benzerlik oranının karesi olduğunu hatırlayın. ABC üçgeninin toplam alanını bulmak için ADE üçgeninin alanı ile BCED yamuğunun alanını toplayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Üçgende Alan ve Benzerlik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları