Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
f(x)=x2−4x f(x) = x^2 - 4x
(g∘f)(x)=x2−4x+5 (g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, g(3)g(3) ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. 16Cevap
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. D
    12
  5. E
    Tek bir değer alır

Cevap

16
Fonksiyonun birebir ve örten olması için parçaların kritik nokta olan x=2'de birbirini tamamlaması gerekir. x=2 için üst parçadan gelen değer 1'dir. Alt parçanın da 2'ye yaklaşırken 1 değerini alması gerekir, buradan k=-1 bulunur. f tersinde 1 değeri, fonksiyonun sonucunun 1 olduğu x değeridir (x=2). f tersinde -2 değeri ise sonucun -2 olduğu x değeridir; bu değer 1'den küçük olduğu için alt parça kullanılır ve x=-1 bulunur. Toplamları 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (g∘f)(x)(g \circ f)(x) ifadesini g(f(x))g(f(x)) olarak yazmak.
g(f(x))=x2−4x+5g(f(x)) = x^2 - 4x + 5
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği (g∘f)(x)(g \circ f)(x), f(x)f(x)'in gg fonksiyonunda yerine yazılmasıdır.
2
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yaparak g(u)g(u) fonksiyonunu elde etmeye çalışmak.
f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x olduğuna göre, eşitliğin sağ tarafında da x2−4xx^2 - 4x ifadesi görüldüğünden, bu ifade yerine doğrudan uu yazılabilir. Böylece g(u)=u+5g(u) = u + 5 elde edilir.
Eşitliğin her iki tarafındaki benzer ifadeleri bir değişkenle temsil ederek fonksiyonun kuralını basitleştirmek.
3
g(3)g(3) değerini hesaplamak için u=3u=3 yazmak.
g(3)=3+5=8g(3) = 3 + 5 = 8.
Fonksiyon kuralı bulunduktan sonra istenen değer hesaplanır.
4
Alternatif durumları ve sorunun 'alabileceği değerler toplamı' ifadesini analiz etmek. f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözüm kümesini incelemek.
f(x)=3⇒x2−4x=3⇒x2−4x−3=0f(x) = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 3 = 0. Bu denklemin diskriminantı Δ=(−4)2−4(1)(−3)=16+12=28>0\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28 > 0 olduğundan iki farklı reel kökü (x1,x2x_1, x_2) vardır. Ancak her iki xx değeri için de f(x)=3f(x)=3 olacağından, g(f(x))g(f(x)) ifadesi her zaman g(3)g(3) değerini verecektir ve bu değer tektir: 8.
Soruda 'değerlerin toplamı' sorulması, öğrenciyi şaşırtmaya yönelik olabilir veya fonksiyonun tanım kümesiyle ilgili kısıtlamalar olup olmadığı kontrol edilmelidir. Burada g(u)=u+5g(u) = u+5 tek bir fonksiyon kuralı olarak çıktığı için g(3)g(3) tek bir değer alır. *Düzeltme:* Sorunun yapısı gereği g(u)g(u) fonksiyonu tek türlü belirlenmiştir. Ancak 'alabileceği değerler toplamı' ifadesi genellikle birden fazla değer iması taşır. Eğer soru f(x)f(x) yerine g(x)g(x) sorulsaydı durum değişebilirdi. Bu kurguda g(3)g(3) sabittir. Soru kökünü ve çözümü zorluk seviyesine (Level 4) uygun hale getirmek için revize ediyorum.

*Revize Çözüm Mantığı:* g(f(x))=x2−4x+5g(f(x)) = x^2 - 4x + 5 ve f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. Buradan g(u)=u+5g(u) = u+5 bulunur. Ancak, f(x)f(x)'in görüntü kümesi f(x)=(x−2)2−4≥−4f(x) = (x-2)^2 - 4 \geq -4'tür. Yani uu değişkeni u≥−4u \geq -4 olmalıdır. u=3u=3 değeri bu aralıkta olduğu için (3≥−43 \geq -4) g(3)g(3) tanımlıdır ve değeri 8'dir. Soru kökünde 'toplamı' denmesi şaşırtmaca olabilir veya soru kurgusunu değiştirmem gerekebilir.

*Zorluk Artırma:* Fonksiyon kuralını f(x)=∣x−2∣f(x) = |x-2| gibi mutlak değerli veya parçalı vererek gg'nin birden fazla form almasını sağlayabilirim. Veya soruyu şu hale getirebilirim: (g∘f)(x)=x2−4x+5(g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5 yerine ∣x2−4x∣+5|x^2 - 4x| + 5 gibi bir ifade verip f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x olduğunda gg'nin durumlarını inceletmek.

Eğer (g∘f)(x)=∣x2−4x∣+5(g \circ f)(x) = |x^2 - 4x| + 5 ise ve f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x ise; f(x)=uf(x)=u dersek g(u)=∣u∣+5g(u) = |u| + 5 olur. g(3)=∣3∣+5=8g(3) = |3| + 5 = 8. Yine tek değer.

Başka bir yaklaşım: f(x)=x2f(x) = x^2 ve (g∘f)(x)=x4−2x2+3(g \circ f)(x) = x^4 - 2x^2 + 3. f(x)=u⇒u=x2(u≥0)f(x)=u \Rightarrow u=x^2 (u \ge 0). g(u)=u2−2u+3g(u) = u^2 - 2u + 3. g(3)=9−6+3=6g(3) = 9 - 6 + 3 = 6.

Zor soru örneği:
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x
(g∘f)(x)=x2−2x+∣x−1∣(g \circ f)(x) = x^2 - 2x + |x-1|.
Burada f(x)=(x−1)2−1f(x) = (x-1)^2 - 1.
∣x−1∣=f(x)+1|x-1| = \sqrt{f(x)+1}.
Öyleyse g(f(x))=f(x)+f(x)+1g(f(x)) = f(x) + \sqrt{f(x)+1}.
g(u)=u+u+1g(u) = u + \sqrt{u+1}.
g(3)=3+3+1=3+2=5g(3) = 3 + \sqrt{3+1} = 3 + 2 = 5.
Bu da tek değer.

Çoklu değer alabilmesi için ters fonksiyon veya mutlak değer içi işaret değişimi gereklidir.
Soru tipi: f(x)=x2f(x) = x^2 ve g(x2)=x4−6x2+5g(x^2) = x^4 - 6x^2 + 5. g(2)g(2) kaçtır?
x2=2⇒x=±2x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}. Sonuç değişmez.

Soru Tipi Değişikliği: Fonksiyon denklemi üzerinden gidelim.
f(x)+f(2−x)=x2−2x+5f(x) + f(2-x) = x^2 - 2x + 5 ve f(1)f(1) sorulabilir. (Orta seviye)

Level 4 için 'Fonksiyonlarda Değer Bulma' üzerine kurgulu, değişken değiştirmeli ve dikkat gerektiren bir soru:
f(x+1x−1)=x−1x+1+x−1f(\frac{x+1}{x-1}) = \frac{x-1}{x+1} + x - 1.
f(2)f(2) nedir?
x+1x−1=2⇒x+1=2x−2⇒x=3\frac{x+1}{x-1} = 2 \Rightarrow x+1 = 2x-2 \Rightarrow x=3.
f(2)=12+3−1=2.5f(2) = \frac{1}{2} + 3 - 1 = 2.5.

Yeni Kurgu (Zor):
f:R−{0}→Rf: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R},
3f(x)−f(1x)=2x3f(x) - f(\frac{1}{x}) = 2x
Olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Bu soru tipi sistem çözümü gerektirir.
1) x=3x=3 yaz: 3f(3)−f(1/3)=63f(3) - f(1/3) = 6
2) x=1/3x=1/3 yaz: 3f(1/3)−f(3)=2/33f(1/3) - f(3) = 2/3
3) İki bilinmeyenli denklem çöz.
f(1/3)f(1/3)'ü yok et.
Üstteki denklemi 3 ile çarp: 9f(3)−3f(1/3)=189f(3) - 3f(1/3) = 18
Alttaki denklem: −f(3)+3f(1/3)=2/3-f(3) + 3f(1/3) = 2/3
Taraf tarafa topla: 8f(3)=18+2/3=56/38f(3) = 18 + 2/3 = 56/3
f(3)=7/3f(3) = 7/3.
Bu kurgu Level 4 için uygundur, işlemsel yükü ve strateji gereksinimi vardır.

Ancak çeşitlilik kuralları gereği daha önce benzeri sorulmuş mu kontrol etmeliyim. Listede "f(x)+3f(1/x)=4xf(x) + 3f(1/x) = 4x" var. Bu çok benzer. Bunu kullanamam.

Farklı bir Level 4 kurgusu: Tanım kümesi ve görüntü kümesi analizi içeren parça parça tanımlı fonksiyon.

f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 ve (g∘f−1)(x)=x2+x(g \circ f^{-1})(x) = x^2 + x.
g(5)g(5) kaçtır?
f−1(x)=uf^{-1}(x) = u olsun. x=f(u)=2u−3x = f(u) = 2u-3.
g(u)=(2u−3)2+(2u−3)g(u) = (2u-3)^2 + (2u-3).
g(5)g(5) için u=5u=5 yazarız.
g(5)=(10−3)2+(10−3)=49+7=56g(5) = (10-3)^2 + (10-3) = 49 + 7 = 56.
Bu işlem yoğunluğu açısından Level 3-4 olabilir. Biraz daha karmaşıklaştıralım.

f(x+1)=3x−2f(x+1) = 3x - 2 ve (f∘g−1)(x)=x+4(f \circ g^{-1})(x) = x + 4.
g(4)g(4) değeri kaçtır?

Çözüm:
(f∘g−1)(x)=f(g−1(x))=x+4(f \circ g^{-1})(x) = f(g^{-1}(x)) = x + 4.
Burada x=4x=4 verelim.
f(g−1(4))=8f(g^{-1}(4)) = 8.
f(x+1)=3x−2f(x+1) = 3x - 2 fonksiyonunda sonucun 8 olması için:
3x−2=8⇒3x=10⇒x=10/33x - 2 = 8 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3.
Bu xx değeri için f(10/3+1)=8f(10/3 + 1) = 8. Yani f(13/3)=8f(13/3) = 8.
Demek ki g−1(4)=13/3g^{-1}(4) = 13/3.
g(13/3)=4g(13/3) = 4. Ama bize g(4)g(4) soruluyor. g−1(4)=a  ⟺  g(a)=4g^{-1}(4) = a \iff g(a)=4. Bu bize g(4)g(4)'ü vermez. Bize g−1(x)g^{-1}(x) değil g(x)g(x) lazım.
Bu yol g(4)g(4)'ü buldurmaz. Soruyu g−1(4)g^{-1}(4) sorusu yapabiliriz veya g(a)=4g(a)=4 ise a kaçtır diye sorabiliriz.

Kurguyu değiştirelim:
f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x fonksiyonu verilsin. ff birebir ve örtendir.
f−1(10)f^{-1}(10) değeri kaçtır?
Deneme yoluyla x=2x=2 için 8+2=108+2=10. Cevap 2.
Bu Level 2-3 olur.

Level 4 Hedefi için:
Fonksiyonel Denklem ve Simetri
f(x)+2f(2−x)=x2f(x) + 2f(2-x) = x^2 eşitliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre f(3)f(3) değeri kaçtır?

Çözüm:
1) x=3x=3 yaz: f(3)+2f(−1)=9f(3) + 2f(-1) = 9
2) x=−1x=-1 yaz (simetriği): f(−1)+2f(3)=(−1)2=1f(-1) + 2f(3) = (-1)^2 = 1
Sistem:
f(3)+2f(−1)=9f(3) + 2f(-1) = 9
2f(3)+f(−1)=1⇒f(−1)=1−2f(3)2f(3) + f(-1) = 1 \Rightarrow f(-1) = 1 - 2f(3)
Yerine koy:
f(3)+2(1−2f(3))=9f(3) + 2(1 - 2f(3)) = 9
f(3)+2−4f(3)=9f(3) + 2 - 4f(3) = 9
−3f(3)=7-3f(3) = 7
f(3)=−7/3f(3) = -7/3

Bu soru tipi listedeki 1. soruya (f(x)−2f(1−x)=3x+1f(x) - 2f(1-x) = 3x + 1) benziyor. "Diversity" kuralına takılabilirim. Farklı bir yapı bulmalıyım.

Yeni Yapı: Fonksiyon Grafiği Okuma ve Bileşke (Sözel Kurgu)
Doğrusal fonksiyonların bileşkesi üzerinden gidelim.
f(x)=ax+bf(x) = ax+b ve g(x)=bx+ag(x) = bx+a doğrusal fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(1)=11(f \circ g)(1) = 11 ve (g∘f)(1)=7(g \circ f)(1) = 7 olduğuna göre a2+b2a^2 + b^2 kaçtır?

Çözüm:
g(1)=b+ag(1) = b+a
f(g(1))=f(a+b)=a(a+b)+b=a2+ab+b=11f(g(1)) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11

f(1)=a+bf(1) = a+b
g(f(1))=g(a+b)=b(a+b)+a=ab+b2+a=7g(f(1)) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7

Taraf tarafa toplayalım:
a2+b2+2ab+a+b=18a^2 + b^2 + 2ab + a + b = 18
(a+b)2+(a+b)−18=0(a+b)^2 + (a+b) - 18 = 0
(a+b+9)(a+b−2)=0(a+b+9)(a+b-2) = 0
a+ba+b ya −9-9 ya da 22.

Farkı alalım:
(a2+ab+b)−(ab+b2+a)=4(a^2 + ab + b) - (ab + b^2 + a) = 4
a2−b2+b−a=4a^2 - b^2 + b - a = 4
(a−b)(a+b)−(a−b)=4(a-b)(a+b) - (a-b) = 4
(a−b)(a+b−1)=4(a-b)(a+b-1) = 4

Durum 1: a+b=2a+b=2
(a−b)(2−1)=4⇒a−b=4(a-b)(2-1) = 4 \Rightarrow a-b = 4
Denklem sistemi: a+b=2,a−b=4⇒2a=6,a=3,b=−1a+b=2, a-b=4 \Rightarrow 2a=6, a=3, b=-1.
Kontrol edelim: a2+b2=9+1=10a^2+b^2 = 9+1=10.

Durum 2: a+b=−9a+b=-9
(a−b)(−9−1)=4⇒−10(a−b)=4⇒a−b=−0.4(a-b)(-9-1) = 4 \Rightarrow -10(a-b) = 4 \Rightarrow a-b = -0.4
Denklem: a+b=−9,a−b=−0.4⇒2a=−9.4,a=−4.7,b=−4.3a+b=-9, a-b=-0.4 \Rightarrow 2a=-9.4, a=-4.7, b=-4.3.
a2+b2a^2+b^2 tam sayı çıkmaz. Şıklarda tam sayı varsa Durum 1 geçerlidir.

Bu soru gayet kaliteli ve Level 4 (Hard) seviyesine uygun. Cebirsel manipülasyon yeteneğini ölçüyor. Mevcut yasaklı listesinde bu tarz bir soru yok.

Soru metnini oluşturalım.
5
Sonuçları kontrol etmek.
a=3,b=−1a=3, b=-1 için f(x)=3x−1,g(x)=−x+3f(x)=3x-1, g(x)=-x+3. (f∘g)(1)=f(2)=5≠11(f \circ g)(1) = f(2) = 5 \neq 11. Hata var.
Tekrar çözüm:
f(x)=ax+bf(x)=ax+b, g(x)=bx+ag(x)=bx+a
g(1)=a+bg(1) = a+b
(f∘g)(1)=f(a+b)=a(a+b)+b=a2+ab+b=11(f \circ g)(1) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11 (1. Denklem)
f(1)=a+bf(1) = a+b
(g∘f)(1)=g(a+b)=b(a+b)+a=ab+b2+a=7(g \circ f)(1) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7 (2. Denklem)

Çözümdeki f(2)=5f(2)=5 kontrolüm yanlıştı çünkü a,ba,b değerlerini yerine koyarken g(1)=2g(1)=2 buldum (b+a=−1+3=2b+a = -1+3=2).
f(2)=3(2)−1=5f(2) = 3(2)-1 = 5. Denklemde 11 verilmişti. Nerede hata yaptım?
a2+ab+b=11a^2+ab+b = 11 denkleminde a=3,b=−1a=3, b=-1 koyarsak: 9+(−3)+(−1)=59 + (-3) + (-1) = 5. Eşitlik sağlanmıyor.
Demek ki (a+b−2)=0(a+b-2)=0 kökü bu sistemi sağlamıyor. Neden?
(a−b)(a+b−1)=4(a-b)(a+b-1)=4 denkleminde a+b=2a+b=2 koyunca a−b=4a-b=4 bulduk. Ama bu değerler ilk denklemi sağlamıyor.
a=3,b=−1a=3, b=-1 ise a2+ab+b=9−3−1=5≠11a^2+ab+b = 9-3-1=5 \neq 11.
Demek ki cebirsel çözümde (a+b)2+(a+b)=18(a+b)^2+(a+b)=18 yaklaşımı gerekli şart ama yeterli değil. Özgün denklemlere dönmeliyiz.

Bu yol karmaşık ve hataya açık. Daha net bir soru kurgulayalım.

Yeni Kurgu 2: Sabit Fonksiyon ve Birim Fonksiyon
ff birim fonksiyon, gg sabit fonksiyon olmak üzere,
f(2x+g(x))+g(3x−1)=12f(2x+g(x)) + g(3x-1) = 12
Olduğuna göre, xx kaçtır?

Çözüm:
f(x)=xf(x)=x (Birim)
g(x)=cg(x)=c (Sabit)
f(2x+c)+g(3x−1)=12f(2x+c) + g(3x-1) = 12
(2x+c)+c=12(2x+c) + c = 12
2x+2c=12⇒x+c=62x + 2c = 12 \Rightarrow x + c = 6.
Burada cc bilinmediği için xx bulunamaz. Soru eksik.

Yeni Kurgu 3: Parçalı Fonksiyon ve Ters Fonksiyon (Level 4)
f(x)={2x−3,x≥23x−a,x<2f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x \geq 2 \\ 3x-a, & x < 2 \end{cases}
fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre f−1(7)f^{-1}(7) kaçtır?

Çözüm:
Birebir ve örten olması için x=2x=2 kritik noktasında süreklilik veya sıçrama olmaması, değerlerin örtüşmesi gerekir. (Bu KPSS müfredatında genellikle süreklilik/limit değil, "kopma olmaması" ve "örtmesi" şeklinde basitleştirilir).
x≥2x \geq 2 için görüntü kümesi [1,∞)[1, \infty).
x<2x < 2 için görüntü kümesi (−∞,6−a)(-\infty, 6-a).
Örtenlik için 6−a=16-a = 1 olmalı, yani a=5a=5. (Kümelerin birleşimi R\mathbb{R} olmalı).
Eğer a=5a=5 ise f(x)=3x−5f(x) = 3x-5 (x<2x<2).
Soru: f−1(7)f^{-1}(7). Yani f(x)=7f(x)=7 olan xx nedir?
1. Durum: 2x−3=7⇒2x=10⇒x=52x-3 = 7 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5. (Koşul: x≥2x \ge 2. 5≥25 \ge 2 sağlar.)
2. Durum: 3x−5=7⇒3x=12⇒x=43x-5 = 7 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4. (Koşul: x<2x < 2. 4<24 < 2 SAĞLAMAZ.)
Cevap x=5x=5.
Bu soru aa değerini buldurup sonra ters görüntü sorduğu için çok adımlı ve güzel. Ancak aa'yı sormazsa öğrenci direkt 2x−3=72x-3=7'den 5'i bulabilir, aa'ya ihtiyaç duymaz. Bu da soruyu Level 1 yapar. Yanıltıcı şık lazım.

Soruyu şöyle revize edelim: f−1(1)f^{-1}(1) kaçtır?
2x−3=1⇒x=22x-3=1 \Rightarrow x=2. (x≥2x \ge 2 sağlar).
3x−5=1⇒x=23x-5=1 \Rightarrow x=2. (x<2x < 2 sağlamaz).

Zorlaştıralım: f−1(−2)f^{-1}(-2) soralım.
2x−3=−2⇒x=0.52x-3 = -2 \Rightarrow x=0.5 (Koşul x≥2x \ge 2 sağlamaz).
3x−5=−2⇒3x=3⇒x=13x-5 = -2 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1. (Koşul x<2x < 2 sağlar).
Burada öğrenci aa'yı bulmak zorundadır.

Soru:
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,
f(x)={2x−3,x≥2x+k,x<2 f(x) = \begin{cases} 2x - 3, & x \geq 2 \\ x + k, & x < 2 \end{cases}
fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre, f−1(1)+f−1(−2)f^{-1}(1) + f^{-1}(-2) toplamı kaçtır?

Çözüm:
1. Adım: Örtenlik şartı. x=2x=2 sınırında değerler "kavuşmalı" veya boşluk kalmamalı.
Sağ limit/değer: 2(2)−3=12(2)-3 = 1.
Sol limit: 2+k2+k.
Örten olması için 2+k=1⇒k=−12+k = 1 \Rightarrow k = -1.
Fonksiyon:
x≥2→[1,∞)x \ge 2 \rightarrow [1, \infty)
x<2→(−∞,1)x < 2 \rightarrow (-\infty, 1)

2. Adım: f−1(1)f^{-1}(1)'i bul.
f(x)=1f(x)=1. Üst parça 2x−3=1⇒x=22x-3=1 \Rightarrow x=2. (Dahil)
Alt parça x−1=1⇒x=2x-1=1 \Rightarrow x=2. (Dahil değil)
O halde f−1(1)=2f^{-1}(1) = 2.

3. Adım: f−1(−2)f^{-1}(-2)'yi bul.
f(x)=−2f(x)=-2. Bu değer 1'den küçük olduğu için alt parçadan gelmeli.
x−1=−2⇒x=−1x-1 = -2 \Rightarrow x = -1. (Koşul x<2x<2 sağlar).

4. Adım: Toplam.
2+(−1)=12 + (-1) = 1.

Bu soru Level 4 için uygundur. Kavramsal bilgi (birebir-örtenlik şartı) ve işlem içerir.

Şıklar:
A) 0
B) 1 (Doğru)
C) 2
D) 3
E) 4

Hatalı Mantıklar (Çeldiriciler):
- kk'yi bulmadan işlem yapmaya çalışmak (yapamaz).
- kk'yi yanlış bulmak (x=0x=0 verip f(0) vs. gibi).
- Ters fonksiyonu yanlış kolda aramak.
- 2x−3=−2⇒x=0.52x-3=-2 \Rightarrow x=0.5 deyip bunu almak (tanım kümesi hatası). Eğer bunu yaparsa: 2+0.5=2.52 + 0.5 = 2.5. Şıklarda yok.
- x+k=−2x+k=-2'de kk'yi bulamayıp k=0k=0 almak: x=−2x=-2. Toplam 2−2=02-2=0. (Şık A).

Güzel, A şıkkı güçlü bir çeldirici oldu.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların birebir ve örten olması için kritik noktadaki süreklilik/uyum şartının sağlanması ve ters fonksiyon değerlerinin uygun aralıkta aranması.

İpuçları

1
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için, görüntü kümesinde boşluk kalmamalıdır. Parçalı fonksiyonlarda kritik noktadaki (burada x=2) değerleri kontrol edin.
2
x=2 noktasında üstteki parça hangi değeri alıyor? Alttaki parça (x < 2) 2'ye yaklaşırken bu değere ulaşmalı ki kopukluk olmasın. Buradan k sayısını bulabilirsiniz.
3
k = -1'dir. Şimdi f(x) = 1 denklemini sağlayan x'i ve f(x) = -2 denklemini sağlayan x'i (uygun aralıklarda) bulun.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örtenlik şartının sağlanmadığı durumda fonksiyonun tersinin neden olamayacağını araştırın.

Alternatif Yöntem

Grafik çizerek çözüm: x=2'den başlayan y=2x-3 doğrusunu ve x<2 için y=x+k doğrusunu çizip, bunların y ekseninde (görüntü kümesinde) boşluk bırakmayacak şekilde birleştiğini görselleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru