Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=3x−1 g(x) = 3x - 1
f−1(2x+1)=g(x−2) f^{-1}(2x+1) = g(x-2)
eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, (f∘g)(4)(f \circ g)(4) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    6
  2. B
    8
  3. C
    9
  4. D
    11
  5. 13Cevap

Cevap

İşlemin sonucu 13'tür.
Soruda istenen (f∘g)(4)(f \circ g)(4) değeri için önce g(4)g(4) hesaplanır ve 11 bulunur. f(11)f(11) değerini bulmak için verilen ters fonksiyon eşitliği kullanılır. f−1f^{-1}'in sonucu olan g(x−2)g(x-2) ifadesi 11'e eşitlenerek x=6x=6 bulunur. Bu xx değeri f−1f^{-1}'in içindeki 2x+12x+1 ifadesinde yerine yazıldığında 13 elde edilir. Ters fonksiyon özelliği gereği f−1(13)=11f^{-1}(13)=11 ise f(11)=13f(11)=13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak bileşke fonksiyon tanımı gereği (f∘g)(4)=f(g(4))(f \circ g)(4) = f(g(4)) ifadesini hesaplamak için içteki g(4)g(4) değerini bulunuz.
g(4)=3(4)−1=12−1=11g(4) = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11. Yani bizden istenen değer f(11)f(11)'dir.
Bileşke fonksiyonda işlem sırası sağdan sola doğrudur.
2
Verilen f−1(2x+1)=g(x−2)f^{-1}(2x+1) = g(x-2) eşitliğini kullanarak, f(11)f(11) değerini bulmak için ters fonksiyon özelliğinden yararlanınız.
f(11)=y  ⟺  f−1(y)=11f(11) = y \iff f^{-1}(y) = 11 demektir. Ancak burada f−1f^{-1}'in sonucu (görüntüsü) verilmiştir. Verilen eşitliğin sağ tarafı g(x−2)g(x-2)'dir. Bu ifadeyi 11'e eşitleyerek xx değerini bulunuz.
f(a)=b  ⟺  f−1(b)=af(a)=b \iff f^{-1}(b)=a kuralı gereği, ters fonksiyonun içi ile dışı yer değiştirebilir.
3
g(x−2)g(x-2) ifadesini 11'e eşitleyerek xx'i çözünüz.
g(x−2)=3(x−2)−1=11⇒3(x−2)=12⇒x−2=4⇒x=6g(x-2) = 3(x-2) - 1 = 11 \Rightarrow 3(x-2) = 12 \Rightarrow x-2 = 4 \Rightarrow x = 6.
Fonksiyonun içindeki değişkeni bulmak için denklem çözümü yapılır.
4
Bulunan x=6x=6 değerini, f−1f^{-1} fonksiyonunun içindeki 2x+12x+1 ifadesinde yerine yazarak ff'in sonucunu bulunuz.
f−1(2(6)+1)=11⇒f−1(13)=11f^{-1}(2(6)+1) = 11 \Rightarrow f^{-1}(13) = 11. Bu ifade f(11)=13f(11) = 13 anlamına gelir.
Ters fonksiyonun tanım kümesindeki eleman, düz fonksiyonun değer kümesindeki elemana karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Ters Fonksiyon Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru