Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
f(x+12)=3x−4 f\left(\frac{x+1}{2}\right) = 3x - 4
g(2x−1)=x2+x−1 g(2x-1) = x^2 + x - 1
eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, (f−1∘g)(3)(f^{-1} \circ g)(3) değeri kaçtır?
  1. 2Cevap
  2. B
    3
  3. C
    5
  4. D
    11
  5. E
    23

Cevap

İstenen değer 2'dir.
Bileşke fonksiyon kuralı gereği işlem sırası içeriden dışarıya doğrudur. Önce g(3)g(3) değeri, fonksiyonun tanım kümesi uygun şekilde ayarlanarak bulunur (x=2x=2 için sonuç 5). Daha sonra f−1(5)f^{-1}(5) değerini bulmak için, sonucu 5 yapan xx değeri (x=3x=3) bulunur ve bu değer ff'in tanım ifadesinde yerine yazılır.

Adım Adım Çözüm

1
(f−1∘g)(3)=f−1(g(3))(f^{-1} \circ g)(3) = f^{-1}(g(3)) ifadesini hesaplamak için önce içteki g(3)g(3) değerini bulalım.
g(2x−1)g(2x-1) ifadesinde parantez içinin 3 olması gerekir: 2x−1=3⇒2x=4⇒x=22x-1 = 3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2.
Fonksiyonun tanımındaki değişkene ulaşmak için.
2
Bulunan x=2x=2 değerini gg fonksiyonunun kuralında yerine yazalım.
g(3)=22+2−1=4+2−1=5g(3) = 2^2 + 2 - 1 = 4 + 2 - 1 = 5.
g(3)g(3) değerini elde etmek için.
3
Şimdi f−1(5)f^{-1}(5) değerini bulmamız gerekiyor. Bu ifadeyi yy değişkenine eşitleyerek f(y)=5f(y)=5 denklemine dönüştürelim.
f(y)=5f(y)=5 olması için, fonksiyonun sonucunun 5 olması gerekir: 3x−4=5⇒3x=9⇒x=33x - 4 = 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3.
Ters fonksiyonun tanımı gereği görüntü kümesinden tanım kümesine geçiş yapmak için.
4
Bulunan x=3x=3 değerini ff fonksiyonunun tanım kısmındaki x+12\frac{x+1}{2} ifadesinde yerine yazarak cevaba ulaşalım.
y=3+12=42=2y = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2. Dolayısıyla f−1(5)=2f^{-1}(5) = 2.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon

İpuçları

1
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği, (f−1∘g)(3)(f^{-1} \circ g)(3) ifadesi f−1(g(3))f^{-1}(g(3)) demektir. Önce parantez içini hesaplayın.
2
g(3)g(3) değerini bulmak için g(2x−1)g(2x-1) ifadesinde parantez içini 3 yapan xx değerini bulup fonksiyonda yerine yazın.
3
g(3)=5g(3)=5 bulduktan sonra, f−1(5)f^{-1}(5) değerini arıyoruz. Bu, 'f fonksiyonunda hangi girdi 5 sonucunu verir?' sorusuyla aynıdır. 3x−4=53x-4=5 eşitliğini kullanın.

Alternatif Yöntem

Dilerseniz önce g(x)g(x) ve f(x)f(x) fonksiyonlarının kurallarını xx'e bağlı olarak bulup (g(x)=(x+12)2+x+12−1g(x) = (\frac{x+1}{2})^2 + \frac{x+1}{2} - 1 gibi), sonra bileşke işlemini uygulayabilirsiniz, ancak bu yöntem işlem hatası riskini artırır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru