Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFonksiyonlar
x≠1x \neq 1 ve x≠0x \neq 0 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x}
kuralı ile verilmiştir.
Her nn pozitif tam sayısı için fnf_n fonksiyonu,
fn(x)=(f∘f∘⋯∘f⏟n tane)(x)f_n(x) = (\underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \text{ tane}})(x)
biçiminde tanımlanmaktadır.

Buna göre, f2026(2)f_{2026}(2) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. -1Cevap
  2. B
    1/2
  3. C
    2
  4. D
    1
  5. E
    -1/2

Cevap

-1
Verilen fonksiyonun ardışık bileşkeleri alındığında değerlerin belirli bir periyotla tekrar ettiği görülür. x=2x=2 için değerler sırasıyla −1,1/2,2-1, 1/2, 2 şeklinde ilerler ve her 3 adımda bir başa döner. 2026 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğu için, 2026. işlemin sonucu 1. işlemin sonucuna, yani -1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun değerlerini adım adım hesaplayarak bir örüntü (periyot) olup olmadığını kontrol et.
f1(2)=f(2)=11−2=1−1=−1f_1(2) = f(2) = \frac{1}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1
İlk bileşke değerini bulmak için.
2
Bulunan sonucu tekrar fonksiyona yazarak ikinci bileşkeyi hesapla.
f2(2)=f(f(2))=f(−1)=11−(−1)=12f_2(2) = f(f(2)) = f(-1) = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}
Örüntünün devamını görmek için.
3
Üçüncü bileşkeyi hesapla.
f3(2)=f(1/2)=11−(1/2)=11/2=2f_3(2) = f(1/2) = \frac{1}{1-(1/2)} = \frac{1}{1/2} = 2
Başlangıç değerine (x=2) ulaşıldığını ve döngünün tamamlandığını tespit etmek için.
4
Periyodu belirle ve istenen adım sayısı için modüler aritmetik uygula.
Döngü: 2→−1→1/2→22 \to -1 \to 1/2 \to 2. Periyot 3'tür (f3(x)=xf_3(x) = x). 2026≡1(mod3)2026 \equiv 1 \pmod 3.
2026. adımın döngüdeki hangi adıma denk geldiğini bulmak için.
5
Kalan sayıya karşılık gelen fonksiyon değerini seç.
Kalan 1 olduğu için sonuç f1(2)f_1(2) değerine eşittir, yani -1.
Doğru sonucu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonların Periyodik Özellikleri

İpuçları

1
Fonksiyonun x=2x=2 için ilk birkaç değerini (f(2)f(2), f(f(2))f(f(2)), ...) hesaplayarak sonuçların tekrar edip etmediğini kontrol edin.
2
Hesapladığınız değerler bir döngü oluşturuyorsa, bu döngünün kaç adımda bir tekrar ettiğini (periyodunu) bulun.
3
Periyot 3'tür. Yani her 3 işlemde bir sonuç tekrar 2 olur. 2026 sayısının 3'e bölümünden kalanı kullanarak hangi adımın sonucunu aradığınızı belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Periyodu 4 olan f(x)=(x−1)/(x+1)f(x) = (x-1)/(x+1) fonksiyonu için benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Genel kuralı bulmak için f(x)f(x), f(f(x))f(f(x)) ve f(f(f(x)))f(f(f(x))) ifadelerini cebirsel olarak sadeleştirip f3(x)=xf_3(x) = x (Birim Fonksiyon) olduğunu görebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru