Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)={2x+k,x<13x−k,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x+k, & x < 1 \\ 3x-k, & x \geq 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
(f∘f)(0)=12(f \circ f)(0) = 12
olduğuna göre, kk değeri kaçtır?
  1. A
    -12
  2. B
    -3
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. 6Cevap

Cevap

k değeri 6'dır
Bileşke fonksiyon değerini bulurken adım adım ilerlenmelidir. Öncelikle f(0)f(0) değeri, 0<10 < 1 olduğu için birinci daldan f(0)=kf(0)=k olarak bulunur. Sonraki adımda f(k)=12f(k)=12 eşitliğini sağlayan kk değerini ararken, kk'nın 1'den küçük mü yoksa büyük mü olduğu bilinmediği için iki durum da denenmelidir. k<1k < 1 varsayımıyla kurulan 3k=123k=12 denklemi k=4k=4 sonucunu verir ancak bu 4<14 < 1 koşuluyla çelişir. k≥1k \ge 1 varsayımıyla kurulan 2k=122k=12 denklemi k=6k=6 sonucunu verir ve bu değer 6≥16 \ge 1 koşulunu sağlar. Dolayısıyla doğru cevap 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak içteki fonksiyonun değerini, yani f(0)'ı hesapla.
0 < 1 olduğu için üstteki dalı kullanırız: f(0) = 2(0) + k = k
Parçalı fonksiyonda x değerinin aralığına göre uygun kural seçilmelidir.
2
Bulunan değeri dıştaki fonksiyonda yerine yazarak (f o f)(0) = f(k) = 12 denklemini çöz.
f(k) hesaplanırken k'nın değeri bilinmediği için iki olasılık (k < 1 veya k ≥ 1) incelenmelidir.
k'nın hangi aralıkta olduğunu bilmediğimizden her iki durumu da test edip tutarlı olanı bulmalıyız.
3
Birinci Durum: k < 1 olduğunu varsayalım.
f(k) = 2(k) + k = 3k olur. 3k = 12 ise k = 4 bulunur. Ancak varsayımımız k < 1 idi, 4 < 1 olmadığı için bu kök geçersizdir.
Bulunan sonuç, başlangıçtaki varsayım aralığı ile çelişiyorsa çözüm kümesine dahil edilmez.
4
İkinci Durum: k ≥ 1 olduğunu varsayalım.
f(k) = 3(k) - k = 2k olur. 2k = 12 ise k = 6 bulunur. Varsayımımız k ≥ 1 idi, 6 ≥ 1 olduğu için bu çözüm geçerlidir.
Koşulu sağlayan tek değer budur.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyonlar ve Bileşke Fonksiyon

İpuçları

1
Önce x=0x=0 değerini fonksiyonda yerine yazarak f(0)f(0)'ın kk cinsinden eşitini bulun.
2
f(0)=kf(0)=k bulduktan sonra, (f∘f)(0)=f(k)=12(f \circ f)(0) = f(k) = 12 denklemini çözmeniz gerekir. Ancak kk'nın 1'den küçük mü yoksa büyük mü olduğunu bilmiyorsunuz.
3
İki durumu da deneyin: 1) Eğer k<1k < 1 ise f(k)=2k+kf(k) = 2k+k; 2) Eğer k≥1k \ge 1 ise f(k)=3k−kf(k) = 3k-k. Bulduğunuz kk değerinin varsaydığınız aralıkta olup olmadığını mutlaka kontrol edin.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru