Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFonksiyonlar
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+3f(1x)=4x2−2xf(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x^2 - \frac{2}{x}
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    -5
  2. -3Cevap
  3. C
    1
  4. D
    3
  5. E
    15

Cevap

f(2)f(2) değeri -3 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel denklemde xx yerine hem 22 hem de 1/21/2 yazılarak f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) değerlerine bağlı iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem yok etme metoduyla çözüldüğünde f(2)f(2) değeri hatasız bir şekilde -3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte xx yerine 2 yazarak birinci denklemi oluştur.
f(2)+3f(1/2)=4(22)−2/2=16−1=15f(2) + 3f(1/2) = 4(2^2) - 2/2 = 16 - 1 = 15
f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) arasında bir ilişki bulmak için.
2
Eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci denklemi oluştur.
f(1/2)+3f(2)=4(1/2)2−2/(1/2)=4(1/4)−4=1−4=−3f(1/2) + 3f(2) = 4(1/2)^2 - 2/(1/2) = 4(1/4) - 4 = 1 - 4 = -3
Bilinmeyenleri aynı olan (f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2)) ikinci bir denklem elde ederek sistemi çözülebilir hale getirmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz.
1. Denklem: f(2)+3f(1/2)=15f(2) + 3f(1/2) = 15
2. Denklem: 3f(2)+f(1/2)=−33f(2) + f(1/2) = -3
İkinci denklemi -3 ile çarpıp taraf tarafa toplayalım:
f(2)+3f(1/2)=15f(2) + 3f(1/2) = 15
−9f(2)−3f(1/2)=9-9f(2) - 3f(1/2) = 9
-------------------
−8f(2)=24-8f(2) = 24
f(2)=−3f(2) = -3
f(1/2)f(1/2) terimini yok ederek istenen f(2)f(2) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme (x→1/xx \to 1/x) yöntemiyle sistem oluşturma.

İpuçları

1
Soruda verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak bir denklem elde edin. Ancak bu denklemde hem f(2)f(2) hem de f(1/2)f(1/2) bilinmeyenleri olacaktır.
2
Bilinmeyenlerden kurtulmak için ikinci bir denkleme ihtiyacınız var. Bu kez eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi (f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) içeren), iki bilinmeyenli denklem sistemi gibi düşünün ve yok etme metodunu kullanarak f(2)f(2)'yi yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

f(x)+2f(−x)=x2+xf(x) + 2f(-x) = x^2 + x eşitliğini sağlayan ff fonksiyonu için f(1)f(1) değerini soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için önce xx sonra 1/x1/x koyarak f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x)'e bağlı genel sistemi çözüp f(x)f(x) kuralını f(x)=1x2−x2…f(x) = \frac{1}{x^2} - x^2 \dots gibi bulmak ve sonra yerine koymak da mümkündür, ancak sayısal değerler üzerinden gitmek daha hızlıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru