Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonlar
x≠2x \neq 2 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(2x+1)=4x+1x−2f(2x+1) = \frac{4x+1}{x-2}
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, f−1(7)f^{-1}(7) değeri kaçtır?
  1. A
    3
  2. B
    5
  3. C
    9
  4. 11Cevap
  5. E
    13

Cevap

11
İstenen değer f−1(7)=af^{-1}(7) = a olsun. Bu durumda ters fonksiyon özelliğinden f(a)=7f(a) = 7 olmalıdır. Verilen fonksiyon kuralında sonucun 7 olması için 4x+1x−2=7\frac{4x+1}{x-2} = 7 denklemi çözülür. İçler dışlar çarpımı ile 4x+1=7x−144x+1 = 7x-14 bulunur, buradan 3x=153x=15 ve x=5x=5 elde edilir. Ancak fonksiyon f(2x+1)f(2x+1) şeklinde tanımlandığı için, bulduğumuz x değerini 2x+12x+1 ifadesinde yerine yazmalıyız: 2(5)+1=112(5)+1 = 11. Yani f(11)=7f(11)=7 olup, buradan f−1(7)=11f^{-1}(7)=11 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyonun tanımı gereği f−1(b)=a  ⟺  f(a)=bf^{-1}(b) = a \iff f(a) = b ilişkisini kullan.
f(2x+1)=7f(2x+1) = 7 olması için fonksiyonun görüntü kümesindeki ifadenin 7'ye eşitlenmesi gerekir.
Fonksiyonun tersindeki 7 değeri, fonksiyonun düz halindeki görüntü (sonuç) değeridir.
2
Verilen eşitliğin sağ tarafını 7'ye eşitleyip x değerini bul.
4x+1x−2=7⇒4x+1=7(x−2)⇒4x+1=7x−14⇒15=3x⇒x=5\frac{4x+1}{x-2} = 7 \Rightarrow 4x+1 = 7(x-2) \Rightarrow 4x+1 = 7x-14 \Rightarrow 15 = 3x \Rightarrow x=5
Bu x değeri, görüntüsü 7 olan girdi değerini bulmamızı sağlayacak anahtardır.
3
Bulunan x değerini fonksiyonun tanım kümesindeki 2x+12x+1 ifadesinde yerine yaz.
f(2⋅5+1)=f(11)=7f(2\cdot5 + 1) = f(11) = 7 olduğu için f−1(7)=11f^{-1}(7) = 11 bulunur.
Soruda bizden istenen x değeri değil, fonksiyonun içindeki 2x+12x+1 ifadesinin değeridir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinde değer bulmak için, fonksiyonun sonucunu o değere eşitleyen girdi değerini bulmak gerekir (f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y)=x \iff f(x)=y).

İpuçları

1
f−1(7)f^{-1}(7) ifadesi, 'fonksiyonun sonucunu 7 yapan değer' anlamına gelir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki kesirli ifadeyi 7'ye eşitleyerek x değerini bulmalısın.
3
Bulduğun x değerini f(2x+1)f(2x+1) içindeki x yerine yazmayı unutma.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda fakat f(x)f(x) yerine f(3x−2)f(3x-2) gibi farklı bir iç ifade içeren ters fonksiyon soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun tersini kural olarak bulup (f(x)f(x) formatına getirerek) sonra 7 yazmak da mümkündür, ancak bu soruda x'i bulup yerine koymak daha kısa sürer.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru