Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorEtkilerin Toplanabilirliği Varsayımı

Bir araştırmacı, aa düzeyli bir A faktörü ile bb düzeyli bir B faktörünün incelendiği tam çaprazlanmış (fully crossed) bir deney planında, her faktör seviyesi kombinasyonunda yalnızca bir ölçümün alınabildiği kısıtlı bir düzenek kurmuştur (n=1n=1). İlgili alandaki teorik çalışmalar, A faktörünün belirli düzeylerinin B faktörünün düzeylerine bağlı olarak yanıt değişkeni üzerinde oransal (çarpımsal) bir değişim yarattığına güçlü bir biçimde işaret etmektedir. Araştırmacı, bu durumu dikkate alıp veriye uygun bir veri dönüşümü (örneğin logaritmik) uygulamak yerine, standart toplanabilir doğrusal istatistiksel modeli (Yij=μ+αi+βj+εijY_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}) doğrudan ham veriler üzerinden tahmin etmiştir.

Bu araştırma bağlamında, faktör etkilerinin toplanabilirliği ilkesinin ihlal edilmesinin (etkilerin çarpımsal olmasının) istatistiksel sonuçlarına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi kesin olarak doğrudur?

  1. Ortaklaşa değişimi yansıtan bileşen, modelde tahmin edilecek yeterli serbestlik derecesi bulunmadığından hata teriminin (residual) içine gömülür; bu da ana etkileri sınayan F istatistiğinin paydasını şişirerek testin gücünü zayıflatır ve İkinci Tip Hata olasılığını artırır.Cevap
  2. B
    Modele dahil edilmeyen çarpımsal yapı, genel değişimin bileşenlerine ayrıştırılması aşamasında bir eşitsizlik yaratır ve hesaplanan hata kareler toplamının negatif değerler almasına neden olarak ANOVA tablosunu geçersiz kılar.
  3. C
    Göz ardı edilen toplanabilirlik ihlali, sabit düzeyli olarak belirlenmiş A ve B faktörlerini istatistiksel açıdan tesadüfi değişkenlere dönüştürür ve beklenen değer kurallarını karma (mixed) model yönünde değiştirir.
  4. D
    Varsayım ihlali nedeniyle oluşan çarpımsal yapı, parametrik analizlerin sağlamlığını bozmayacağından göz ardı edilebilir; dolayısıyla hesaplanan F değerleri üzerinden doğrudan ana etkilerin yorumlanmasına geçilmesi istatistiksel bir sorun yaratmaz.
  5. E
    Ortaklaşa yaratılan değişim, faktörlerin bağımsız etkilerini temsil eden ana etkilerle bütünüyle karışır ve F testinde modelin açıklayıcılığını gösteren pay kısmını suni olarak büyüterek araştırmacının sürekli Birinci Tip Hata yapmasına zemin hazırlar.

Cevap

Doğru seçenek, ayrıştırılamayan etkileşim bileşeninin hata terimine karıştığını, F istatistiğinin paydasını büyüterek testin gücünü zayıflattığını ve İkinci Tip Hatayı artırdığını belirten ifadedir.
Hücre başına tek gözlem bulunan (n=1) deney tasarımlarında, etkileşim etkisini (\alpha\beta_{ij}) bağımsız bir şekilde tahmin edecek serbestlik derecesi kalmaz. Model, zorunlu olarak bu tasarımlarda etkilerin toplanabilir olduğunu varsayar. Ancak, gerçekte verinin doğasından kaynaklanan oransal veya çarpımsal bir ilişki varsa, bu ölçülemeyen etkileşim varyansı mecburen modelin hata terimine (residual) dahil olur. Bunun sonucunda Hata Kareler Ortalamasının (MSE) beklenen değeri yalnızca gerçek rastgele varyansı (\sigma^2) değil, aynı zamanda etkileşim varyansını da içererek yukarı doğru yanlı bir tahmin üretir. F = MSA / MSE formülüne göre payda suni olarak şiştiğinde, F hesaplama istatistiği küçülür; bu da testin anlamlı bir farkı saptama olasılığını (testin gücünü) azaltır ve sonuçta araştırmacıyı hatalı bir şekilde yokluk hipotezini (H0) kabul etmeye sürükler (İkinci Tip Hata).

Adım Adım Çözüm

1
Deney tasarımının ve serbestlik derecelerinin analiz edilmesi.
Tam çaprazlanmış tasarımda n=1 olduğundan, toplam (ab-1) serbestlik derecesinin (a-1) kadarı A'ya, (b-1) kadarı B'ye gider. Geriye kalan (a-1)(b-1) serbestlik derecesi ise artık (hata) terimine aittir. Etkileşim için tahsis edilebilecek fazladan serbestlik derecesi kalmamıştır.
Herhangi bir bileşenin varyans analizinde tahmin edilebilmesi için pozitif serbestlik derecesine sahip olması gerekir.
2
Çarpımsal etkinin (toplanabilirlik ihlalinin) matematiksel yansımasının belirlenmesi.
Gerçekte modelde var olan çarpımsal etki (bir tür etkileşim), model denkleminde ayrı bir parametre olarak bulunmadığı için istatistiksel olarak hata terimi (\varepsilon_{ij}) içine gömülmek zorunda kalır.
Genel kareler toplamının ayrıştırılmasında, modelin açıklayamadığı her türlü yapısal veya rastgele varyans hata terimine kalır.
3
Hata terimindeki bu şişmenin F testleri ve istatistiksel güç üzerindeki etkisinin değerlendirilmesi.
Beklenen hata kareler ortalaması E(MSE) = \sigma^2 + (etkileşim varyansı) halini alır. Ana etkiler için hesaplanan F değeri (MSA / MSE veya MSB / MSE) payda şiştiği için olduğundan daha küçük çıkar. Bu durum anlamlı farklılıkları tespit etme gücünü azaltarak İkinci Tip Hata olasılığını maksimize eder.
F testinde paydanın (hata varyansının) suni şekilde büyümesi, test istatistiğini küçülterek araştırmacıyı H0 hipotezini reddedememe yönünde kısıtlar.

Anahtar Kavram

Varyans Analizinde (ANOVA) Etkilerin Toplanabilirliği Varsayımı ve İhlalinin Beklenen Kareler Ortalaması (EMS) Üzerindeki Sonuçları
Bu soruyu puanla

Konular

Etkilerin Toplanabilirliği Varsayımı