Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamsayılı Modellerde Grafik Çözüm Yöntemi

Bir lojistik firması, araç filosu için iki farklı tipte (A ve B) yeni taşıma aracı almayı planlamaktadır. Firmanın bu alımlar için garaj kapasitesi ve bütçe sınırları bulunmaktadır. A tipi araç sayısını x1x_1 ve B tipi araç sayısını x2x_2 ile gösteren ve günlük taşıma kapasitesini maksimize etmeyi amaçlayan tamsayılı programlama modeli aşağıda formüle edilmiştir:

MaksimumZ=3x1+4x2Maksimum \quad Z = 3x_1 + 4x_2
Kısıtlar:
2x1+4x2≤17(Bu¨tc¸e kısıtı)2x_1 + 4x_2 \leq 17 \quad \text{(Bütçe kısıtı)}
4x1+2x2≤19(Garaj kısıtı)4x_1 + 2x_2 \leq 19 \quad \text{(Garaj kısıtı)}
x1,x2≥0 ve tamsayıx_1, x_2 \geq 0 \text{ ve tamsayı}

Bu problemin grafik çözüm yöntemi ile elde edilen tamsayılı optimum çözümünde amaç fonksiyonu (ZZ) değeri kaçtır?

  1. A
    17
  2. 18Cevap
  3. C
    20
  4. D
    20.5
  5. E
    24

Cevap

Tamsayılı optimum çözüm değeri 18'dir.
Tamsayılı programlama modellerinde grafik çözüm uygulanırken, doğrusal programlama bölgesinin içindeki tamsayı noktaları araştırılır. Bu problemde doğrusal programlamanın kesişim noktası (3.5, 2.5) olup Z=20.5 değerini verir. Ancak değişkenler tamsayı olmalıdır. Bu noktaya yakın tamsayı koordinatları test edildiğinde; (4, 2) ve (3, 3) noktalarının kısıtları ihlal ettiği görülür. Uygun çözüm alanı içinde kalan tamsayı noktalarından (3, 2) noktasında Z=17, (2, 3) noktasında ise Z=18 değeri elde edilir. Amaç maksimizasyon olduğu için en iyi tamsayılı çözüm Z=18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin tamsayı kısıtları göz ardı edilerek doğrusal programlama (DP) gevşetmesinin optimum noktasını hesapla.
2x1+4x2=172x_1 + 4x_2 = 17 ve 4x1+2x2=194x_1 + 2x_2 = 19 denklemlerinin ortak çözümünden x1=3.5x_1 = 3.5 ve x2=2.5x_2 = 2.5 bulunur. Bu noktada Z=20.5Z = 20.5'tir.
Grafik yöntemde tamsayılı çözümü ararken, öncelikle sürekli (kesirli) çözüm alanının tepe noktasını bulmak, hangi tamsayı noktalarını incelememiz gerektiği konusunda yön gösterir.
2
DP optimumuna (3.5, 2.5) yakın olan ve kısıtları sağlayan (uygun) tamsayı noktalarını belirle.
(3,2)(3, 2) noktası kısıtları sağlar (14≤1714 \leq 17 ve 16≤1916 \leq 19). (2,3)(2, 3) noktası kısıtları sağlar (16≤1716 \leq 17 ve 14≤1914 \leq 19). Yuvarlama ile elde edilebilecek (4,2)(4, 2) ve (3,3)(3, 3) gibi diğer noktalar ise kısıtları sağlamaz (uygun değildir).
Tamsayılı programlamada çözüm, uygun bölgenin içindeki veya sınırındaki tamsayı koordinatlı noktalarda aranmalıdır. Kesirli çözümü basitçe yuvarlamak genellikle kısıtları ihlal eder.
3
Belirlenen uygun tamsayı noktalarında amaç fonksiyonu (ZZ) değerlerini karşılaştırarak maksimum olanı seç.
(3,2)(3, 2) noktası için Z=3(3)+4(2)=17Z = 3(3) + 4(2) = 17. (2,3)(2, 3) noktası için Z=3(2)+4(3)=18Z = 3(2) + 4(3) = 18. Maksimum değer 18'dir.
Mümkün olan tüm uygun tamsayı çözümleri arasından, amaç fonksiyonunu en çoklaştıran değer optimum tamsayılı çözümdür.

Anahtar Kavram

Tamsayılı Programlamada Grafik Çözüm ve Yuvarlama Hataları
Bu soruyu puanla

Konular

Tamsayılı Modellerde Grafik Çözüm Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru